Математическая статистика (стр. 9 из 14)

В таких случаях использование методов выдвижения и проверки гипотез даст нам информацию о параметрах распределения, что может оказаться вполне достаточно для решения конкретной экономической задачи.

5.2.1Оценка параметров нормального распределения

Нередки случаи, когда у нас есть некоторые основания считать интересующую нас СВ распределенной по нормальному закону. Существуют специальные методы проверки такой гипотезы по данным наблюдений, но мы ограничимся напоминанием природы этого распределения – наличия влияния на значение данной величины достаточно большого количества случайных факторов.

Напомним себе также, что у нормального распределения всего два параметра – математическое ожидание m и среднеквадратичное отклонение s.

Пусть мы произвели 40 наблюдений над такой случайной величиной X и эти наблюдения представили в виде:

Таблица 5-2

Xi	85	105	125	145	165	185	205	225	Всего
ni	4	3	3	2	4	7	12	5	40
f i	0.100	0.075	0.075	0.050	0.100	0.175	0.300	0.125	1

Если мы усредним значения наблюдений, то формула расчета выборочного среднего

M_x =

S X_i · n_i =S X_i · f_i {5–1} будет отличаться от выражения для математического ожидания m только использованием частот вместо вероятностей.

В нашем примере выборочное среднее значение составит M_x = 171.5 , но из этого пока еще нельзя сделать заключение о равенстве m = 171.5.

· Во-первых, M_x – это непрерывная СВ, следовательно, вероятность ее точного равенства чему-нибудь вообще равна нулю.

· Во-вторых, нас настораживает отсутствие ряда значений X.

· В-третьих, частоты наблюдений стремятся к вероятностям при бесконечно большом числе наблюдений, а у нас их только 40. Не мало ли?

Если мы усредним теперь значения квадратов отклонений наблюдений от выборочного среднего, то формула расчета выборочной дисперсии

D_x = (S_x)² =

S (X_i – M_x)²· n_i =S (X_i)²· f_i – (M_x)² {5–2} также не будет отличаться от формулы, определяющей дисперсию s² .

В нашем примере выборочное значение среднеквадратичного отклонения составит S_x= 45.5 , но это совсем не означает, что s =45.5.

И всё же – как оценить оба параметра распределения или хотя бы один из них по данным наблюдений, т.е. по уже найденным M_x и S_x?

Прикладная статистика дает следующие рекомендации:

· значение дисперсии s² считается неизвестным и решается первый вопрос – достаточно ли число наблюдений N для того, чтобы использовать вместо величины s ее выборочное значение S_x;

· если это так, то решается второй вопрос – как построить нулевую гипотезу о величине математического ожидания m и как ее проверить.

Предположим вначале, что значение s каким–то способом найдено. Тогда формулируется простая нулевая гипотеза Њ₀:m=M_x и осуществляется её проверка с помощью следующего критерия. Вычисляется вспомогательная функция (Z–критерий)

, {5-3} значение и знак которой зависят от выбранного нами предполагаемого m.

Доказано, что значение Z является СВ с математическим ожиданием 0 , дисперсией 1 и имеет нормальное распределение.

Теперь важно правильно построить альтернативную гипотезу Њ₁. Здесь чаще всего применяется два подхода.

Выбор одного из них зависит от того – большое или малое (по модулю) значение Z у нас получилось. Иными словами – как далеко от расчетного M_x мы выбрали гипотетическое m..

· При малых отличиях между M_x и m разумно строить гипотезы в виде

Њ₀: m= M_x;

Њ₁: неизвестное нам значение m лежит в пределах

M_x –

·Z _2k £m£ M_x + ·Z _2k {5–4}

Критическое (соответствующее уровню значимости в 5%) значение критерия составляет при этом = 1.96 (двухсторонний критерий). Если оказывается, что выборочное значение критерия ½Z½ < 1.96, то гипотезаЊ₀: m=M_x принимается, данные наблюдений не противоречат ей.

Если же это не так, то мы “в утешение” получаем информацию другого вида – где, на каком интервале находится искомое значение m.

· При больших отличиях (в большую или меньшую сторону) между m и M_x гипотезы строятся иначе Њ₀:m= M_x; Њ₁: неизвестное нам значение m лежит вне пределов, указанных в {5–4}.

Теперь критическое (соответствующее уровню значимости в 5%) значение критерия составляет Z _1k = 1.645 (односторонний критерий). Если оказывается, что выборочное значение критерия½Z½³ 1.645, то гипотеза Њ₀: m =M_x отвергается, данные наблюдений противоречат ей.

Если же это не так, то мы получаем информацию другого вида – где, на каком крае интервале находится искомое значение m. Разумеется, для других (не 5%) значений уровня значимости Z_1k и Z _2k являются другими.

Чуть сложнее путь проверки гипотез о математическом ожидании m в случаях, когда s нам неизвестна и приходится довольствоваться выборочным значением среднеквадратичного отклонения по данным наблюдений.

В этом случае вместо “z –критерия” используется т.н. “t–критерий” или критерий Стьюдента

, {5–5} в котором используется значение “несмещенной” оценки для дисперсии s²

(S_x)²=

S (X_i – M_x)²· n_i . {5–6}

Далее используется доказанное в теории положение – случайная величина t имеет специальное распределение Стьюдента с m=N–1 степенями свободы.

Существуют таблицы для этого распределения по которым можно найти вероятность ошибки первого рода или, что более удобно, – граничное значение этой величины при заданных заранее a и m. Таким образом, если вычисленное нами значение ½t½³ t(a,m), то Њ₀ отвергается, если же это не так – Њ₀ принимается. Конечно, при большом количестве наблюдений (N>100…120) различие между z– и t–критериями несущественно. Значения критерия Стьюдента для a=0.05 при разных количествах наблюдений составляют:

Таблица 5–3

m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	120
t	12.7	4.30	3.18	2.78	2.57	2.45	2.36	2.31	2.26	2.23	2.09	2.04	2.02	1.98

5.2.2Оценка параметров дискретных распределений

В ряде случаев работы с некоторой дискретной СВ нам удается построить вероятностную схему событий, приводящих к изменению значений данной величины. Иными словами – закон распределения нам известен, но неизвестны его параметры. И наша задача – научиться оценивать эти параметры по данным наблюдений.

Начнем с наиболее простого случая. Пусть у нас есть основания считать, что случайная величина X может принимать целочисленные значения на интервале [0…k…n] с вероятностями

P(X=k)=

p^k (1– p)^n-k,

т.е. распределена по биномиальному закону. Так вот, – единственный параметр p этого распределения нас как раз и интересует.

Примером подобной задачи является чисто практический вопрос о контроле качества товара.

Пусть мы решили оценить качество одной игральной кости из партии, закупленной для казино. Проведя n=200 бросаний мы обнаружили появлений цифры 6 в X = 25 случаях.

Выдвинем нулевую гипотезу Њ₀: кость симметрична, то есть p= 1/6.

Вроде бы по наблюдениям частота выпадения цифры 6, составившая 25/200 не совпадает с гипотетическим значением вероятности 1/6. Но это чисто умозрительное, дилетантское заключение.

Теория прикладной статистики рекомендует вычислить значение непрерывной СВ

, {5–7} т.е. использовать z–критерий (см. {5–3}).

В нашем примере наблюдаемое значение Z составит около –1.58. Следовательно, при пороговой вероятности в 5% условие ½Z½< 1.96 выполняется и у нас нет оснований отбрасывать нулевую гипотезу о симметрии игральной кости.

Отметим, что z–критерий позволяет решать еще одну важную задачу – о достаточном числе испытаний.

Пусть нам требуется проверить качество товара – некоторых изделий, каждое из которых может быть годным или негодным (бракованным). Пусть допустимый процент брака составляет p=5%. Ясно, что чем больше испытаний мы проведем, тем надежнее будет наш статистический вывод – браковать партию товара (например, – 10000 штук) или считать её пригодной.