Методы и алгоритмы построения элементов систем статистического моделирования (стр. 5 из 5)

- диагональная матрица, образованная из фундаментальной заменой всех элементов, кроме диагональных, нулями;

D - диагональная матрица с диагональными элементами,

;

Е - матрица, все элементы которой равны единице.

Матрица дисперсий времени первого достижения имеет несколько более сложный вид:

(17)

где кроме уже упомянутых обозначений встречается новое - (

, обозначающее диагональную матрицу, полученную из матричного произведения матриц .

4.3. Управляемые марковские цепи

Как указывалось выше, под управляемыми марковскими процессами понимают такие, у которых имеется возможность до определенной степени управлять значениями переходных вероятностей. В качестве примеров таких процессов можно привести любые торговые операции, у которых вероятность сбыта и получения эффекта может зависеть от рекламы, мероприятий по улучшению качества, выбора покупателя или рынка сбыта и т.д.

Очевидно, что при создании математических моделей в данном случае должны фигурировать следующие компоненты:

- конечное множество решений (альтернатив)

, где - номер состояния системы;

- матрицы переходов

соответствующие тому или иному принятому k-му решению;

- матрицы доходов (расходов)

, также отражающие эффективность данного решения.

Управляемой цепью Маркова (УЦМ) называется случайный процесс, обладающий марковским свойством и включающий в качестве элемента математической модели конструкцию (кортеж)

. Решение, принимаемое в каждый конкретный момент (шаг процесса), назовем частным управлением.

Таким образом, процесс функционирования системы, описываемой УЦМ, выглядит следующим образом:

- если система находится в состоянии

и принимается решение , то она получает доход ;

- состояние системы в последующий момент времени (шаг) определяется вероятностью

, то есть существует вероятность того, что система из состояния перейдет в состояние , если выбрано решение .

Очевидно, общий доход за n шагов является случайной величиной, зависящей от начального состояния и качества принимаемых в течение хода процесса решений, причем это качество оценивается величиной среднего суммарного дохода (при конечном времени) или среднего дохода за единицу времени (при бесконечном времени).

Стратегией p называется последовательность решений:

(18)

где

- вектор управления.

Задание стратегии означает полное описание конкретных решений, принимаемых на всех шагах процесса в зависимости от состояния, в котором находится в этот момент процесс.

Если в последовательности (векторе) p все

одинаковы, то такая стратегия называется стационарной, т.е. не зависящей от номера шага. Стратегия называется марковской, если решение , принимаемое в каждом конкретном состоянии, зависит только от момента времени n, но не зависит от предшествующих состояний.

Оптимальной будет такая стратегия, которая максимизирует полный ожидаемый доход для всех i и n. В теории УМЦ разработаны два метода определения оптимальных стратегий: рекуррентный и итерационный.

Первый, рекуррентный, метод применяется чаще всего при сравнительно небольшом числе шагов n. Его идея основана на применении принципа Беллмана и заключается в последовательной оптимизации дохода на каждом шаге с использованием рекуррентного уравнения следующего вида:

(19)

где

- полный ожидаемый доход;

шагов, если система находится в состоянии i;

- непосредственно ожидаемый доход, т.е. доход на одном шаге, если процесс начался с i-го состояния;

- величина полного ожидаемого дохода за n прошедших шагов, если процесс начинался с j-го состояния (i¹j).

Таким образом, данный метод, по существу, аналогичен методу динамического программирования, отличием является лишь то, что на каждом шаге учитывается вероятность попадания системы в то или иное состояние. Поэтому этот метод называют стохастическим динамическим программированием.

Конкретное применение метода будет рассмотрено далее на примере.

Второй - итерационный метод оптимизации применяется при неограниченном числе этапов (шагов) процесса. Этот метод использует свойство эргодичности марковской цепи и заключается в последовательном уточнении решения путем повторных расчетов (итераций). При этих уточнениях находят решение, обеспечивающее в среднем минимум дохода при большом числе шагов. Оно уже не будет зависеть от того, на каком шаге производится оценка оптимальной стратегии, то есть является справедливым для всего процесса, независимо от номера шага. Важным достоинством метода является, кроме того, и то, что он дает возможность определить момент прекращения дальнейших уточнений.

Главное отличие итерационного метода от рассмотренного ранее, рекуррентного, заключается в том, что в данном случае используется матрица предельных (финальных) вероятностей, где вследствие свойства эргодичности переходные вероятности постоянны на всех шагах процесса. Поскольку матрица доходов состоит также из постоянных, не зависимых от n величин, то можно предположить, что с ростом n общая величина доходов будет возрастать линейно.

Представим графически линейную зависимость суммарного дохода от числа шагов

(рис. 11).

Для наглядности график (см. рис. 11) изображен для УМЦ с двумя состояниями

и . На графике прямая показывает зависимость суммарного дохода, если система “стартовала” из состояния . Соответственно, прямая изображает ту же зависимость для состояния . Обе прямые могут быть описаны линейными уравнениями :

(20)

где

g - угловой коэффициент прямой

;

- доход в i-том состоянии в конце процесса.

Легко заметить, что при таком представлении зависимости

величина непосредственно ожидаемого дохода q (см. формулу (19)) заменяется g. Отличие здесь лишь в том, что g является величиной постоянной для всего процесса, в то время как q меняется на каждом шаге. Величина показывает, на сколько в среднем отличается доход, когда процесс заканчивается в том или ином состоянии. В теории марковских цепей называют весом, так как разница при двух состояниях показывает средний выигрыш от того, в каком состоянии мы находимся в конце процесса (независимо от выбранной стратегии).

Рис. 11. Зависимость суммарного дохода от числа шагов

Таким образом, подводя итоги общих рассуждений, можно сказать, что свойство эргодичности позволяет нам считать справедливым приближенное равенство:

(21)

На этом предположении и основан итерационный метод. Суть его сводится к тому, что при разных стратегиях путем последовательных приближений определяются значения сумм

(22)

Таким образом, если ранее (при рекуррентном методе) искалась стратегия, обеспечивающая на каждом шаге максимум суммы непосредственно ожидаемого дохода и дохода на предшествующих шагах, то здесь находится стратегия, обеспечивающая максимум средней прибыли и относительного веса сразу для всего процесса. При этом производятся последовательные расчеты - итерации, на каждом этапе которых уточняются значения угловых коэффициентов и весов, обеспечивающие максимум доходов.