Непрерывное Вейвлет-преобразование (стр. 2 из 3)
 |
Рис 2. Вейвлет преобразование стационарного сигнала.
Данный рисунок показывает результаты вейвлет анализа для сигнала, представляющим из себя наложение двух синусоид различной частоты. Частотные характеристики данного сигнала не меняются во времени (сигнал стационарный), что хорошо видно на верхней части рисунка 2.
 |
Рис 3. Сравнение методов анализа.
По рисунку 3 удобно сравнить результаты, которые дают преобразование Фурье и вейвлет преобразование. Исходный сигнал изображен на рис (3a). Как видно из рис (3c) преобразование Фурье дает информацию о том спектре частот, который присутствует в сигнале в промежутке времени от 0 до 1 сек., при этом нам неизвестно когда именно та или иная частота реально присутствовала в сигнале.
В то же время вейвлет преобразование (3b)дает исчерпывающую картину динамики изменения частотных характеристик во времени. Все это указывает на то, что вейвлет преобразование существенно более информативно по сравнению с преобразованием Фурье.
3.3.1 Методы вычисления непрерывного вейвлет-преобразования.
Существует два разных пути проведения вейвлет преобразования. Речь идет о расчетах во временной и частотной областях. При работе во временной области мы имеем дело с функциями, аргументами которых являются временные параметры, а в случае частотной – частотные. В частотной области используется механизм быстрого преобразования Фурье. [5c]
3.3.1.1 Во временной области
Прежде всего, нам необходимо определить материнский вейвлет. Допустим, мы выбрали некоторую функцию, удовлетворяющую необходимым условиям: ψ0(η), где η – безразмерный период.
Итак, нам дана временная серия X, со значениями xn, в моменты времени nÎ[0,N-1], где N – количество измерений. Каждая величина разделена по времени на постоянную величину dt. Получив основную формулу для материнского вейвлета, необходимо иметь возможность изменять размеры вейвлета. Для этого строится так называемый "масштабированный" вейвлет который будет иметь вид:
(3)s – параметр, обратный частоте.
Вычисление вейвлет преобразования является сверткой искомой временной серии с функцией-вейвлетом. Основная формула имеет вид :
(4)в данном случае (*) – означает комплексно-сопряженное.
Результатом расчета Wn(s) по формуле (4)будет комплексное число. В качестве конечного результата берется абсолютное значение полученного комплексного числа. [5a]
Блок – схема алгоритма:
 |
нет  |
да
нет  |
да  |
Рис 4. Преобразование Фурье функции вейвлета.
Так как свертка функций эквивалентна их перемножению в частотной области,“строка” s = const на изображении вейвлет преобразования показывает эволюцию изучаемой функции на частотах, близких w0/s. То есть умножение Фурье-спектра исходной функции на пик в точке w0/s в частотной области (то есть на Фурье-образ растянутого вейвлета) вырезает из этой функции все то, что дает вклад в ее спектр на частотах, близких w0/s. В результате получается развертка спектрального компонента во времени. [1]
Основные формулы имеют вид:
(5)где (*) – означает комплексно-сопряженное, а знак (^) – преобразование Фурье.
(6) 
(7)Блок – схема алгоритма:
 |
нет | |
да
| |
да  |
рис 5. Вейвлет Морле.
Фактически вейвлет Морле является произведением комплексной синусоиды на гауссиан.
, (8)где y является значением вейвлет функции с безразмерным периодом h, а w0 - волновой параметр (при реализации w0=6).
Необходимо также отметить, что вейвлет Морле является комплекснозначным, то есть имеет действительную и мнимую части.
4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УЗЛОВЫХ ТОЧЕК ЭКГ НА ОСНОВЕ НЕПРЕРЫВНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
4.1 Стандарты описания и обозначения ЭКГ.
Электрокардиограмма (ЭКГ) человека – сигнал, считываемый в результате распространения волны деполяризации и реполяризации по сердечной мышце. Электрокардиограмма (ЭКГ) представляет собой некоторый сигнал, имеющий пять характерных пиков - P, Q, R, S и T :
Обозначенные особенности (пики и интервалы) и являются стандартами описания электрокардиограммы человека.
4.2 Постановка задачи идентификации.
По временным и амплитудным характеристикам пиков и интервалов врач может определить наличие тех или иных заболеваний у исследуемого пациента. Наиболее важную информацию несет пик R, в частности, именно по этому пику можно найти частоту сердечных сокращений.
В зависимости от конфигурации электродов на теле пациента различают, так называемые, отведения. В медицинской практике используются 12 стандартных отведений, 8 из которых линейно независимы, а еще 4 являются их линейной комбинацией.
В линейных методах для определения временных характеристик ЭКГ (то есть для решения задачи идентификации) обычно используют второе отведение.
Под задачей идентификации, обычно, понимают вычисление временных положений пиков. Также определяют частоты, присутствующие в сигнале, так как, например, присутствие в сигнале определенных высокочастотных компонент может свидетельствовать о ненормальной работе сердца. Поэтому появилась необходимость использования методов частотного анализа, одним из которых является вейвлет-преобразование.