Приближенное вычисление определенных интегралов (стр. 2 из 2)

Как отмечалось выше, приближенные формулы для вычисления определенного интеграла применяют в тех случаях, когда первообразная подынтегральной функции не выражается через элементарные функции.

Вычислим, например, интеграл

по формуле Симпсона с точностью до 0,001.

Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2n, найдем f⁽⁴⁾(x). Последовательно дифференцируя функцию f(x)=

, получаем

f⁽⁴⁾(x)=4

(4х⁴-12х²+3)

Так как на отрезке [0,1]

£1, ½4х⁴-12х²+3½£5, то . Следовательно, можно взять М=20. Используя формулу оценки погрешности, имеем 20/2880n⁴<1/1000, откуда n⁴>1000/144. Для того чтобы выполнялось это неравенство, достаточно взять n=2, т.е. 2n=4.

Разобьем теперь отрезок [0,1] на четыре равные части точками х₀=0, х₁=1/4, х₂=1/2, х₃=3/4, х₄=1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=

в этих точках у₀=1,0000, у₁=0,9394, у₂=0,7788, у₃=0,5698, у₄=0,3679. Применяя формулу Симпсона, получаем

Таким образом,

с точностью до 0,001. Итак, разбив отрезок [0,1] всего на четыре равные части и заменив рассматриваемый интеграл суммой, стоящей в правой части формулы Симпсона, мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью.

В заключении отметим, что каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы - эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.