Построение математических моделей при решении задач оптимизации (стр. 2 из 3)
(1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4).
Из этих решений наиболее выгодное последнее, т.е. х = 21, у = 4.
Задача 3 .
Для изготовления двух видов изделий Аи В завод расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, запас которых ограничен. На изготовление указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки в количестве, указанном в таблице.
Таблица
| Затраты на одно изделие | А | В | Ресурсы | |
| Материалы | Сталь (кг) | 10 | 70 | 320 |
| Материалы | Цветные металлы (кг) | 20 | 50 | 420 |
| Оборудование | Токарные станки (станко-ч) | 300 | 400 | 6200 |
| Оборудование | Фрезерные станки (станко-ч) | 200 | 100 | 3400 |
| Прибыль на одно изделие (в тыс.руб.) | 3 | 8 | ||
Необходимо определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль, если время работы фрезерных станков используется полностью.
Решение.
Посмотрим математическую модель задачи. Обозначим через х число изделий вида А, а через у – число изделий вида В. На изготовление всей продукции уйдет (10 х +70у)кг стали и (20 х +50у) кг цветных металлов. Так как запасы стали не превышают 320 кг, а цветных металлов – 420 кг, то
10х +70у £ 320
20х + 50у £ 420
(300х +400у) ч – время обработки всех изделий на токарных станках:
300х + 400 £ 6200
Учитывая, что фрезерные станки используются максимально, имеем:
200х +100у = 3400
Итак, система ограничений этой задачи есть:
10х + 70у £ 32020х + 50у £ 420
300х + 400у £ 6200 (1)
200х + 100у = 3400
х £ 0, у £ 0.
Общая прибыль фабрики может быть выражена целевой функцией
F = 3х + 8у. (2)
Выразим у через x из уравнения 200х + 100у = 3400 и подставим полученное выражение вместо у в неравенства и целевую функцию:
х +7(34 –2х) £ 322х + 5(34 – 2х) £ 42
3х + 4( 43 – 2х) £ 62
у = 43 – 2х (3)
х ³ 0
34 – 2х ³ 0,
F = 3х + 8(34 – 2х) = -13+272 (4)
Преобразуем систему ограничений (3):
1113х ³ 206 х³ 5 13
8х ³ 218 х ³ 16
4
5х ³ 174 х £ 4 516 £ х £ 17
5х ³ 74 Û 0 £ х £ 17 Û
у = 34 – 2х
0 £ х £ 17
у =34 - 2х у = 34 – 2х
Очевидно, что F =272 –3х принимает наибольшее значение, если х=16.
Fнаиб = 272 – 13 * 16 – 64 (тыс. руб.)
Отдельно следует остановиться на случаях использования ЭВМ при решении задач оптимизации. Рассмотрим это на примере решения следующей задачи:
Задача 4.
В обработку поступила партия из 150 досок длиной по 7.5 м. каждая, для
изготовления комплектов из 4-х деталей. Комплект состоит из:
· 1 детали длиной 3 м.
· 2-х деталей длиной 2 м.
· 1 детали длиной 1.5 м
Как распилить все доски, получив наибольшее возможное число комплектов?
Решение.
Для решения этой задачи воспользуемся редактором электронных таблиц EXCEL
Вводим в ячейки B3:D10 варианты возможного распила одной доски. В ячейках E3:E10 ставим по умолчанию количество досок по одной. В ячейках F3:H10 суммируем получившиеся распиленные детали.
| Способы | 3м | 2м | 1,5м | Количество | 3м | 2м | 1,5м |
| 1 | 2 | 0 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 3 | 1 | 1 | 0 | 3 | 1 |
| 3 | 0 | 0 | 5 | 1 | 0 | 0 | 5 |
| 4 | 1 | 0 | 3 | 1 | 1 | 0 | 3 |
| 5 | 1 | 2 | 0 | 1 | 1 | 2 | 0 |
| 6 | 0 | 2 | 2 | 1 | 0 | 2 | 2 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 8 | 0 | 1 | 3 | 1 | 0 | 1 | 3 |
| 8 | 5 | 9 | 16 | ||||
| 1 | |||||||
| 23 | |||||||
| 11 |
В ячейках E11:H11 суммируем количество досок и деталей.
Вводим формулы:
G11 - ABS(2*F11-G11)
G12 - ABS(G11-2*H11)
G13 - ABS(F11-H11)
Входим во встроенную функцию EXCELПоиск Решения
Устанавливаем Целевую ячейку E11
Ставим ограничения:
E3:E10=>0
E3:E10= ЦЕЛЫЕ
G12<=1
G13<=1
G14<=1
Даем команду Выполнить
Машина выдает разультаты
| Способы | 3м | 2м | 1,5м | Количество | 3м | 2м | 1,5м |
| 1 | 2 | 0 | 1 | 34 | 68 | 0 | 34 |
| 2 | 0 | 3 | 1 | 33 | 0 | 99 | 33 |
| 3 | 0 | 0 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 1 | 2 | 0 | 47 | 47 | 94 | 0 |
| 6 | 0 | 2 | 2 | 24 | 0 | 48 | 48 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 12 | 12 | 12 | 12 |
| 8 | 0 | 1 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 150 | 127 | 253 | 127 | ||||
| 1 | |||||||
| 1 |
Видно, что для полных 127 комплектов не хватает одной двухметровой детали.
То есть максимальное число комплектов – 126. Остаток – по одной детали всех типов.
Ответ: максимальное число комплектов – 126
3. Использование свойств квадратичной функции при решении экстремальных задач
Задача 5.
Окно имеет форму прямоугольника ,завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м .Каковы должны быть размеры окна,чтобы окно пропускало наибольшее количество света?
Решение.
Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью,если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь.
Пусть AB=x, AD=y,тогда
P=AB+BC+AD+ DMC
P=x+2y+0,5 p x (1)
S=AB*BC+p x /8
S=xy+ x p/8 (2)
Из (1),(2) следует, что
S(x)=-(p/8 +1/2)x +3x
Известно,что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при
x =-b/2a,т.е. x =12/(p +4), y= 6/ (p +4).
Ответ.Размеры окна 6/(p +4),12/(p +4).
Задача 6.
На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении не разрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъема снаряда, если начальная скорость снаряда ν0 = 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение.
Из курса физики известно, что путь s, пройденный телом при равноускоренномдвижении, изменяется в зависимости от времени по закону s = s0 + ν0t + at2/ 2, где s0 – начальный путь, ν0 – начальная скорость, a – ускорение, t – время.
В рассматриваемом случае s =0,v =300 м/с, а=-5 м/с ,значит,S(t) = 300t – 5t2 .
 |  |
Функция S(t) принимает наибольшее значение при
S(30)= 300*30-5*302 =4500(м)
Наибольшая высота подъема снаряда равна 4500 м.
Как видно из примеров, решение экстремальных задач дает возможность установить более тесную межпредметную связь алгебры, геометрии и физики. При их решении можно приобрести не только математическую информацию, но и знания из курса физики.
Решение физических задач поучительно с точки зрения математики, так как можно показать тонкости тех или иных математических приемов в действии, в их практическом приложении.
В частности, эти задачи помогают осознать, что функция, заданная аналитической формулой, может выражать зависимости между реальными величинами в самых различных явлениях и процессах
Задача 7.
Арка моста имеет форму параболы (высота 4 м, наибольшая ширина 20 м).
Составьте уравнение этой параболы.
Решение.
Уравнение параболы в данном случае имеет вид y = ax2 + c. Для определения a и c подставим в этом уравнение координаты точек B и C (рис. 1), т.е.
 | |  |
4 = cc = 4 c = 4,
ÞÞ
0 = 100a + c 100a = -4 a = - 0,04
Парабола имеет вид: y = - 0,04x2 + 4.
4.Применение методов дифференциального исчисления при решении прикладных задач.
Задача 8.
Проектируется канал оросительной системы с прямоугольным сечением в 4,5 м2. Каковы должны быть размеры сечения, чтобы для облицовки стенок и дна пошло наименьшее количество материала?
Решение.
Пусть стенки канала имеют длину x м., а дно канала – y м.
Тогда:
 |
x*y=4,5 y=4,5/xS= L*(2x+y) S=L*(2x+4,5/x)
Найдем производную.
Так как S’=0, и L(длина канала)-положительное число,то 
x=1,5 Легко убедиться, что при данном x значение S минимальноОтвет: x=1,5 м. y=3 м.
Задача 9.
Какова должна быть скорость парохода,чтобы общая сумма расходов на один км. пути была наименьшей, если расходы на топливо за один час пропорциональна квадрату скорости.
Решение.
Расходы на 1км пути на эксплуатацию парохода состоят из расходов на топливо и других расходов (содержание команды, амортизация). Ясно, что чем быстрее движется пароход, тем больше расход топлива. Остальные расходы от скорости движения не зависят.
Обозначим через S-сумму расходов в час, V- скорость судна