Расходы на 1км выразится формулой S/V
По условию имеем S=KV2+b, где K- коэффициент пропорциональности, b- расходы, кроме расходов на топливо.
Y=S/V Y=(KV2+b)/V=KV+b/V
Надо найти значение V, при котором функция Y=KV+b/V имеет наименьшее значение.
Y¢=K=b/V2 Y¢=0
V=Öb/V
Таким образом общая сумма расходов на 1 км. пути будет наименьшей при V=Öb/V.
Значение коэффициентов b и K определяются из опыта эксплуатации парохода.
Задача 10.
Над центром круглого стола радиусом r висит лампа. На какой высоте h следует повесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?
Из физики известна формула E=k*sinj/(h2+r2)
sinj=h/Ö(h2+r2)
Для упрощения решения задачи вместо функции
E=k*sinj/(h2+r2)=k*h/(h2+r2)3/2 возьмем функцию
T=1/k2*E2=h2/(h2+r2), для упрощения формулы заменим
h2=z
тогда:
T=z/(z+r2)3
T¢= ((z+r2)3-z*3*(z+r2)2)/ (z+r2)6=(z+r2-3*r)/ ((z+r2)4
T¢=0® r2-2*r=0® z=r2/2 h=r/Ö2
Ответ. Освещенность максимальная, если h=r/Ö2
Задача 11.
Нахождение гидравлически наиболее выгодного трапециидального сечения русла.
Из всех сечений русла, представляющих собою равнобедренную трапецию, имеющих одинаковую площадь w и уклон i, найти то, которое будет пропускать наибольший расход Q.
Пояснение:
1. Расход Q –это количество воды, проходящее через поперечное сечение русла в единицу времени
2. Расход Q определяется по формуле: Q=w*cÖr*j
w-площадьсечения
c-коэффициент
r-гидравлический радиус
i-уклон дна русла
3. Гидравлический радиус есть отношение площади сечения к смоченному периметру c: r=w/c
4. Смоченный периметр есть линия соприкосновения жидкости с поверхностью канала.
5. Крутизна 1/m откоса есть отношение высоты откоса к заложению (АО).
Решение. Расход Q зависит от r, и он будет наибольшим при rmax , что будет тогда, когдаcmin
Крутизна откоса 1/m =h/АО, то АО=h*m
Тогда w=1/2*(b+2*m*h+b)h=(b+m*h)*h
c=b+2*hÖ1+m2т.е.
c=(w/h-m*h)+2*hÖ1+m2
c(h)=(- w/h2-m)+2Ö1+m2
c(h)=-(b+m*h)/h-m+2Ö1+m2
c(h)=-b/h+2(Ö(1+m2)-m) c(h)=0 при b/h=2(Ö(1+m2)-m)
c(h)¢¢>0 при h=b/2(Ö(1+m2)-m)
Ответ.c имеет наименьшее значение при условии h=b/2(Ö(1+m2)-m)
Заключение.
В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства.
Использование экстремальных задач при изучении математики оправдано тем, что они с достаточной полнотой закладывают понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучше. Решая задачи указанного типа, наблюдаем, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой – большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач.
Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности.
Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению наших математических знаний. Через задачи мы знакомимся с экстремальными свойствами изучаемых функций, с некоторыми свойствами неравенств. Эти задачи могут серьезно повлиять на содержание учебного материала, на аспекты применения положений изучаемой теории на практике.
Список литературы
1. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа 10-11. М.: Просвещение, 1992.
2. Беляева Э. С., Монахов В.М. Экстремальные задачи. М.: Просвещение, 1997.
3. Виленкин Н. Л. Функции в природе и технике. – М.: Просвещение, 1978
4. Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. М.: Просвещение, 1985.
5. Гейн А. Г. Земля Информатика. – Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 1997
6. Гнеденко Б. В. Введение в специальность математика. – М: Наука, 1991
7. Гнеденко Б. В. Математика в современном мире. М: Просвещение, 1980.
8. Перельман Я. И. Занимательная алгебра. М: АО “Столетие”, 1994
9. Хургин Я. И. Ну и что? (Разговоры математика с биологами и радистами, врачами и технологами… о математике и ее связях с другими науками). М.: Молодая гвардия, 1967.
10. Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1997