Основы теории систем и системный анализ (стр. 13 из 21)
Тогда для b = 0.5 имеем следующие данные:
Таблица 3.4
| Очередь | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 и более |
| Вероятность | 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.0625 | 0.0625 |
Обобщим полученные результаты:
· вероятность отсутствия очереди оказалась точно такой же, как и ее наличия;
· очередь в 4 и более заказа практически невероятна;
· математическое ожидание очереди составляет ровно 1 заказ.
Наше право (если мы и есть ЛПР!) — принять такую интенсивность или отказаться от нее, но все же у нас есть определенные показатели последствий такого решения.
Полезно проанализировать ситуации с другими значениями интенсивности нагрузки станции.
Таблица 3.5
| b | 1 / 2 | 3 / 4 | 7 / 8 | 15 / 16 |
| Mx | 1 | 3 | 7 | 15 |
Обратим теперь внимание еще на одно обстоятельство — мы полагали известной информацию только о средней скорости (ее математического ожидания) выполнения заказов. Иными словами, мы считали время выполнения очередного заказа независящим ни от его "содержания" (помыть автомобиль или ликвидировать следствия аварии), ни от числа заказов, "стоящих в очереди".
В реальной жизни это далеко не всегда так и хотелось бы хоть как-то учесть такую зависимость. И здесь теория приходит на помощь (тому, кто понимает ее возможности).
Если нам представляется возможность установить не только само m (среднюю или ожидаемую скорость обработки заказа), но и разброс этой величины Dm (дисперсию), то можно будет оценить среднее число заказов в очереди более надежно (именно так — не точнее, а надежнее!):
Mx =
0.5 · 
. {3 - 15}3.9 Моделирование в условиях противодействия, игровые модели
Как уже неоднократно отмечалось, системный анализ невозможен без учета взаимодействий данной системы с внешней средой. Ранее упоминалась необходимость учитывать состояния природы — большей частью случайных, стохастических воздействий на систему.
Конечно, природа не мешает (но и не помогает) процессам системы осознанно, злонамеренно или, наоборот, поощряюще. Поэтому учет внешних природных воздействий можно рассматривать как "игру с природой", но в этой игре природа — не противник, не оппонент, у нее нет цели существования вообще, а тем более — цели противодействия нашей системе.
Совершенно иначе обстоит дело при учете взаимодействий данной системы с другими, аналогичными или близкими по целям своего функционирования. Как известно, такое взаимодействие называют конкуренцией и ситуации жизни больших систем-монополистов крайне редки, да и не вызывают особого интереса с позиций теории систем и системного анализа.
Особый раздел науки — теория игр позволяет хотя бы частично разрешать затруднения, возникающие при системном анализе в условиях противодействия. Интересно отметить, что одна из первых монографий по этим вопросам называлась "Теория игр и экономического поведения" (авторы — Нейман и Моргенштерн, 1953 г., имеется перевод) и послужила своеобразным катализатором развития методов линейного программирования и теории статистических решений.
В качестве простого примера использования методов теории игр в экономике рассмотрим следующую задачу.
Пусть вы имеете всего три варианта стратегий в условиях конкуренции S1,S2 и S3 (например — выпускать в течение месяца один из 3 видов продукции). При этом ваш конкурент имеет всего два варианта стратегий C1 и C2 (выпускать один из 2 видов своей продукции, в каком то смысле заменяющей продукцию вашей фирмы). При этом менять вид продукции в течение месяца невозможно ни вам, ни вашему конкуренту.
Пусть и вам, и вашему конкуренту достоверно известны последствия каждого из собственных вариантов поведения, описываемые следующей таблицей.
Таблица 3.6
| C1 | C2 | |
| S1 | -2000 | + 2000 |
| S2 | -1000 | +3000 |
| S3 | +1000 | +2000 |
Цифры в таблице означают следующее:
· вы несете убытки в 2000 гривен, а конкурент имеет ту же сумму прибыли, если вы приняли стратегию S1, а конкурент применил C1;
· вы имеете прибыль в 2000 гривен, а конкурент теряет ту же сумму, если вы приняли S1 против C2;
· вы несете убытки в сумме 1000 гривен, а конкурент получает такую прибыль, если ваш вариант S2 оказался против его варианта C1 , и так далее.
Предполагается, что обе стороны имеют профессиональную подготовку в области ТССА и действуют разумно, соблюдая правила — вариант поведения принимают один раз на весь месяц, не зная, конечно, что предпринял на этот же месяц конкурент.
По сути дела, в чисто житейском смысле — это обычная "азартная" игра, в которой существует конечный результат, цель игры — выигрыш.
Этой цели добивается каждый игрок, но не каждый может ее добиться. Варианты поведения игроков можно считать ходами, а множество ходов — рассматривать как партию.
Пусть партия состоит всего лишь из одного хода с каждой стороны. Попробуем найти этот наилучший ход сначала для вашего конкурента — порассуждаем за него.
Так как таблица известна как вам, так и конкуренту, то его рассуждения можно промоделировать.
Вашему конкуренту вариант C2 явно невыгоден — при любом вашем ходе вы будете в выигрыше, а конкурент в проигрыше. Следовательно, со стороны вашего противника будет, скорее всего, принят вариант C1, доставляющий ему минимум потерь.
Теперь можно порассуждать за себя. Вроде бы вариант S2 принесет нам максимальный выигрыш в 3000 гривен, но это при условии выбора C2 вашим конкурентом, а он, скорее всего, выберет C1.
Значит наилучшее, что мы можем предпринять — выбрать вариант S3, рассчитывая на наименьший из возможных выигрышей — в 1000 гривен.
Ознакомимся с рядом общепринятых терминов теории игр:
· поскольку в таблице игры наш возможный выигрыш всегда равен проигрышу конкурента и наоборот, то эту специфику отображают обычно в названии — игра с нулевой суммой;
· варианты поведения игроков-конкурентов называют чистыми стратегиями игры, учитывая независимость их от поведения конкурента;
· наилучшие стратегии для каждого из игроков называют решением игры;
· результат игры, на который рассчитывают оба игрока (1000 гривен прибыли для вас или столько же в виде проигрыша для конкурента) называют ценой игры; она в игре с нулевой суммой однакова для обеих сторон;
· таблицу выигрышей (проигрышей) называют матрицей игры, в данном случае — прямоугольной.
Рассмотренный выше ход рассуждений по поиску наилучшего плана игры в условиях конкуренции — не единственный способ решения задач. Очень часто намного короче и, главное, более логически стройным оказывается другой принцип поиска оптимальных игровых стратегий — принцип минимакса.
Для иллюстрации этого метода рассмотрим предыдущий пример игры с несколько видоизмененной матрицей.
| C1 | C2 | |
| S1 | -2000 | - 4000 |
| S2 | -1000 | +3000 |
| S3 | +1000 | +2000 |
Таблица 3.7
Повторим метод рассуждений, использованный для предыдущего примера.
· Мы никогда не выберем стратегию S1, поскольку она при любом ответе конкурента принесет нам значительные убытки.
· Из двух оставшихся разумнее выбрать S3, так как при любом ответе конкурента мы получим прибыль.
· Выбираем в качестве оптимальной стратегии S3.
Рассуждения нашего конкурента окажутся примерно такими же по смыслу. Понимая, что мы никогда не примем S1 и выберем, в конце концов, S3, он примет решение считать оптимальной для себя стратегию C1 — в этом случае он будет иметь наименьшие убытки.
Можно применить и иной метод рассуждений, дающий, в конце концов, тот же результат. При выборе наилучшего плана игры для нас можно рассуждать так:
· при стратегии S1 минимальный (min) "выигрыш" составит - 4000 гривен;
· при стратегии S2 минимальный (min) "выигрыш" составит - 1000 гривен;
· при стратегии S3 минимальный (min) выигрыш составит + 1000 гривен.
Выходит, что наибольший (max) из наименьших (min) выигрышей — это 1000 гривен и сам бог велел полагать стратегию S3 оптимальной, с надеждой на ответный ход конкурента его стратегией C1. Такую стратегию и называют стратегией MaxiMin.