Экстремумы функций многих переменных (стр. 2 из 3)
однако функция экстремума не достигает. В самом деле, функция
, будучи равной нулю в начале координат, имеет в любой близости к началу координат как положительные значения (в первом и третьем координатных углах), так и отрицательные (во втором и четвертом координатных углах), и значит, нуль не является ни наибольшим, ни наименьшим значением этой функции.Достаточные условия экстремума для функции нескольких переменных носят значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной. Мы рассмотрим эти условия без доказательства только для функции двух переменных.
Пусть точка 
является стационарной точкой функции 
, т. е. 
Вычислим в точке 
значение вторых частных производных функции и обозначим их для краткости буквами A, B и C:
Если 
, то функция 
имеет в точке экстремум: приA<0 и C<0 и минимум при A>0 иC>0(Из условия следует, что A и Cобязательно имеют одинаковые знаки).
Если 
, то точка не является точкой экстремума.
Если 
, то неясно, является ли точка точкой экстремума и требуется дополнительное исследование.
Пример:
1) Ранее в примере было установлено, что функция
имеет четыре стационарные точки:
Вторые частные производные данной функции равны
В точке 
имеем: A=10, B=0, C=2.Здесь 
; значит, точка является точкой экстремума, и так как A и Cположительны, то этот экстремум - минимум.
В точке 
соответственно будетA=-10, B=0, C=-4/3; .
Это точка максимума. Точки 
и 
не являются экстремумами функции (т.к. в них ).
2) Найдем точки экстремума функции 
;
Приравнивая частные производные нулю:
, 
находим одну стационарную точку - начало координат. Здесь A=2, B=0, C= -2. Cледовательно, и точка (0, 0)
не является точкой экстремума. Уравнение есть уравнение гиперболического параболоида (см. Рис. 2.) по рисунку видно, что точка (0, 0) не является точкой экстремума.
Локальные Экстремумы
Определение1: Говорят, что функция 
имеет в точке 
локальный максимум, если существует такая окрестность точки , для которой для всякой точки M с координатами (x, y)выполняется неравенство: 
. При этом, 
т. е. приращение функции < 0.
Определение2: Говорят, что функция имеет в точке локальный минимум, если существует такая окрестность точки , для которой для всякой точки M с координатами (x, y)выполняется неравенство: 
. При этом, т. е. приращение функции > 0.
Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума.
Условные Экстремумы
При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.
Пусть заданы функция и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P(x, y), в которой значение функции 
является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.
Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Поясню сказанное обычным примером. Графиком функции
является верхняя полусфера (Рис 3).
Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение x+y-1=0), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке 
, лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции на данной линии; ей соответствует точка M1 на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.
Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области нам приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.
Приступим теперь к практическому отысканию точек условного экстремума функции Z= f(x, y) при условии, что переменные x и y связаны уравнением j(x, y) = 0. Это соотношение будем называть уравнение связи. Если из уравнения связи y можно выразить явно через х: y=j(x), мы получим функцию одной переменной Z= f(x, j(x)) = Ф(х).
Найдя значение х, при которых эта функция достигает экстремума, и определив затем из уравнения связи соответствующие им значения у, мы и получим искомые точки условного экстремума.
 |
Так, в вышеприведенном примере из уравнения связи x+y-1=0 имеем y=1-х. Отсюда
Легко проверить, что z достигает максимума при х = 0,5; но тогда из уравнения связи y=0,5, и мы получаем как раз точку P, найденную из геометрических соображений.