Решение текстовых задач (стр. 1 из 3)
Карпова Ирина Викторовна, старший преподаватель кафедры алгебры ХГПУ
Задачи на составление уравнений, или текстовые алгебраические задачи, можно условно классифицировать по типам:
задачи на числовые зависимости;
задачи, связанные с понятием «процента»;
задачи на прогрессии;
задачи на движение;
задачи на совместную работу;
задачи на смеси и сплавы.
Стандартная схема решения текстовой задачи состоит из нескольких этапов:
Обозначение буквами x, y, z, ... неизвестных величин, о которых идет речь в задаче.
Составление с помощью введенных переменных и известных из условия задачи величин уравнения или системы уравнений (в некоторых случаях – систем неравенств).
Решение полученного уравнения или системы уравнений.
Отбор решений, подходящих по смыслу задачи.
Выбирая неизвестные и составляя уравнения, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Это означает, что все соотношения должны следовать из конкретных условий задачи, то есть каждое условие должно быть представлено в виде уравнения (или неравенства).
Рассмотрим примеры решения некоторых типов задач из приведенной выше классификации, предварительно выделив особенности задач каждого типа, которые надо учитывать при их решении.
Задачи на движение
Уравнения, которые составляются на основании условий задач на движение, обычно содержат такие величины, как расстояние, скорости движущихся объектов, время, а также скорость течения воды (при движении по реке). При решении этих задач принимают следующие допущения:
Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным.
Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно.
Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается равной (х+у), а против течения – (х-у).
При решении задач на движение рекомендуется сделать рисунок, отображающий все условия задачи. При этом решающий задачу должен выбрать схему решения: какого вида уравнения составлять, то есть что сравнивать: время, затраченное на движение на отдельных участках пути, или пройденный каждым объектом путь.
При решении задач такого типа часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг другу либо в случае, когда один объект догоняет другой.
Пусть расстояние между точками А и В равно S. Два тела начинают движение одновременно, но имеют разные скорости v1 и v2. Пусть С – точка встречи, а t – время движения тел до встречи. В случае движения навстречу друг другу имеем АС=v1t, BC=v2t. Сложим эти два равенства:АС+СВ=v1t+v2t=(v1+v2)t Þ AB=S=(v1+v2)t Þ
.Если одно тело догоняет другое, то теперь получаем АС=v1t, BC=v2t. Вычтем эти равенства:
АС–ВС=(v1–v2)t.Так как АС–ВС=AB=S, то время, через которое первое тело догонит второе, определяется равенством
.Задача 1. Пароход прошел 4 км против течения реки, а затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.
Решение:
Пусть х км/ч – собственная скорость парохода.
Тогда (х+6,5) км/ч – скорость парохода по течению.
(х–6,5) км/ч – скорость парохода против течения.
Так как против течения пароход прошел 4 км со скоростью (х–6,5) км/ч, то
ч. – время движения парохода против течения.Так как по течению пароход прошел 33 км со скоростью (х+6,5) км/ч, то
ч. – время движения парохода по течению.По условию
решим полученное уравнение
Откуда получаем квадратное уравнение
х2–37х+146,25=0 Þ х1=4,5 км/ч и х2=32,5 км/ч.
Осуществим отбор полученных решений.
Через х мы обозначили собственную скорость парохода, при этом скорость течения реки 6,5 км/ч, поэтому х1=4,5 км/ч не подходит по смыслу задачи (при такой скорости пароход не выплыл бы против течения).
Поэтому, собственная скорость парохода равна 32,5 км/ч.
Ответ: v=32,5 км/ч.
Задача 2. Расстояние между городами А и В равно 60 км. Два поезда выходят одновременно: один из А в В, другой из В в А. Пройдя 20 км, поезд, идущий из А в В, останавливается на полчаса, затем, пройдя 4 минуты, встречает поезд, идущий из В. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Найдите скорости поездов.
Решение:
Отобразим все условия задачи на рисунке.
– время, за которое поезд из А прошел 20 км. 
– время, затраченное поездом из А до встречи в пункте D. 
– расстояние, которое прошел поезд из А за 4 минуты после остановки.
км. 
км – расстояние, пройденное поездом из В до встречи. 
– время, пройденное поездом из В до встречи в пункте D.
.
, то 
– время движения поезда из В после встречи.
, то 
– время движения поезда из А после встречи.
.
; 
; 
.
; 
; 
;
.
.
– производительность труда первого рабочего, 
– производительность труда второго рабочего. 
– совместная производительность труда. 
– время, за которое они выполнят задание, работая вместе.