| ò×××ò |
| 19. | Исследовать ход лучей в плоской среде с показателем преломления n(y) = y4 – y2 + 1, пользуясь законом Снеллиуса n(y)sina = const, где a – угол луча с осью y. | ||||||
| 20. | Найти производную решения уравнения x'' = x + A(x')2 с начальным условием x(0) = 1, x'(0) = 0 по параметру A при A = 0. | ||||||
| 21. | Найти производную решения уравнения x'' = (x')2 + x3 с начальным условием x(0) = 1, x'(0) = A по A при A = 0. | ||||||
| 22. | Исследовать границу области устойчивости (max Re lj < 0) в пространстве коэффициентов уравнения x''' + ax'' + bx' + cx = 0. | ||||||
| 23. | Решить квазиоднородное уравнение
| ||||||
| 24. | Решить квазиоднородное уравнение x'' = x5 + x2 x'. | ||||||
| 25. | Может ли асимптотически устойчивое положение равновесия сделаться неустойчивым по Ляпунову при линеаризации? | ||||||
| 26. | Исследовать поведение при t® +¥ решений систем
где e << 1. | ||||||
| 27. | Нарисовать образы решений уравнения x'' = – kx' – dU/dx на плоскости (x, E), где E = (x')2/2 + U (x), вблизи невырожденных критических точек потенциала U. | ||||||
| 28. | Нарисовать фазовый портрет и исследовать его изменение при изменении малого комплексного параметра e: z' = ez – (1 + i) z|z|2 + z 4. | ||||||
| 29. | Заряд движется со скоростью 1 по плоскости под действием перепендикулярного ей сильного магнитного поля B(x, y). В какую сторону будет дрейфовать центр ларморовской окружности? Вычислить скорость этого дрейфа (в первом приближении). [Математически речь идет о кривых кривизны NB, где N® ¥.] | ||||||
| 30. | Найти сумму индексов особых точек векторного поля zz 2 + z4 + 2z 4, отличных от нуля. | ||||||
| 31. | Найти индекс особой точки 0 векторного поля с компонентами (x4 + y4 + z4, x3y – xy3, xyz2). | ||||||
| 32. | Найти индекс особой точки 0 векторного поля grad(xy + yz + zx). | ||||||
| 33. | Найти коэффициент зацепления фазовых траекторий уравнения малых колебаний x'' = –4x, y'' = –9y на поверхности уровня полной энергии. | ||||||
| 34. | Исследовать особые точки кривой y = x3 на проективной плоскости. | ||||||
| 35. | Нарисовать геодезические на поверхности (x2 + y2 – 2)2 + z2 = 1. | ||||||
| 36. | Нарисовать эвольвенты кубической параболы y = x3 (эвольвента – это геометрическое место точек r(s) + (c – s)r'(s), где s – длина вдоль кривой r(s), c – константа). | ||||||
| 37. | Доказать, что поверхности в евклидовом пространстве ((A – λE)–1x, x) = 1, проходящие через точку x и соответствующие разным значениям λ (A — симметричный оператор без кратных собственных чисел) попарно ортогональны. | ||||||
| 38. | Вычислить интеграл от гауссовой кривизны поверхности z4 + (x2 + y2 – 1)(2x2 + 3y2 – 1) = 0. | ||||||
| 39. | Вычислить интеграл Гаусса
где A пробегает кривую x = cos α, y = sin α, z = 0, а B — кривую x = 2cos2β, y = ½ sin β, z = sin 2β. | ||||||
| 40. | Перенести параллельно направленный в Ленинграде (широта 60°) на север вектор с запада на восток вдоль замкнутой параллели. | ||||||
| 41. | Найти геодезическую кривизну прямой y = 1 на верхней полуплоскости с метрикой Лобачевского-Пуанкаре ds2 = (dx2 + dy2)/y2. | ||||||
| 42. | Пересекаются ли в одной точке медианы треугольника на плоскости Лобачевского? А высоты? | ||||||
| 43. | Найти числа Бетти поверхности x12 + ... + xk2 – y12 – ... – yl2 = 1 и множества x12 + ... + xk2£ 1 + y12 + ... + yl2 в k+l-мерном линейном пространстве. | ||||||
| 44. | Найти числа Бетти поверхности x2 + y2 = 1 + z2 в трехмерном проективном пространстве. То же для поверхностей z = xy, z = x2, z2 = x2 + y2. | ||||||
| 45. | Найти индекс самопересечения поверхности x4 + y4 = 1 в проективной плоскости CP². | ||||||
| 46. | Отобразить конформно внутренность единичного круга на первый квадрант. | ||||||
| 47. | Отобразить конформно внешность круга на внешность данного эллипса. | ||||||
| 48. | Отобразить конформно полуплоскость без перпендикулярного ее краю отрезка на полуплоскость. | ||||||
| 49. | Вычислить
| ||||||
| 50. | Вычислить
| ||||||
| 51. | Вычислить интеграл
| ||||||
| 52. | Вычислить первый член асимптотики при k ® ¥ интеграла
| ||||||
| 53. | Исследовать особые точки дифференциальной формы dt = dx/y на компактной римановой поверхности y2/2 + U (x) = E, где U – многочлен, а E – не критическое значение. | ||||||
| 54. | x'' = 3x – x3 – 1. В которой из ям больше период колебаний (в более мелкой или более глубокой) при равных значениях полной энергии? | ||||||
| 55. | Исследовать топологически риманову поверхность функции w = arctg z. | ||||||
| 56. | Сколько ручек имеет риманова поверхность функции w = Ö1 + zn. | ||||||
| 57. | Найти размерность пространства решений задачи
| ||||||
| 58. | Найти размерность пространства решений задачи
| ||||||
| 59. | Исследовать существование и единственность решения задачи
в окрестности точки (1, y0). | ||||||
| 60. | Существует ли и единственно ли решение задачи Коши
в окрестности точки (x0, 0) оси x? | ||||||
| 61. | При каком наибольшем t решение задачи
продолжается на интервал [0, t)? | ||||||
| 62. | Найти все решения уравнения
в окрестности точки (0,0). | ||||||
| 63. | Существует ли решение задачи Коши
на всей плоскости (x, y)? Единственно ли оно? |