| 64. | Имеет ли задача Коши u½y = x² = 1, (Ñu)2 = 1 гладкое решение в области y³x2? В области y£x2? |
| 65. | Найти среднее значение функции ln r на окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (функции 1/r на сфере). |
| 66. | Решить задачу Дирихле |
| 67. | Какова размерность пространства непрерывных при x2 + y2³ 1 решений задачи |
| 68. | Найти по C¥-функциям u, равным 0 в 0 и 1 при x2 + y2 = 1. |
| 69. | Доказать, что телесный угол, опирающийся на заданный замкнутый контур, – гармоническая вне контура функция вершины угла. |
| 70. | Вычислить среднее значение телесного угла, под которым виден круг x2 + y2£ 1, лежащий в плоскости z = 0, из точек сферы x2 + y2 + (z – 2)2 = 1. |
| 71. | Вычислить плотность заряда на проводящей границе полости x2 + y2 + z2 = 1, в которую помещен заряд q = 1 на расстоянии r от центра. |
| 72. | Вычислить в первом приближении по e влияние сжатия Земли (e » 1/300) на гравитационное поле Земли на расстоянии Луны (считая Землю однородной). |
| 73. | Найти (в первом приближении по e) влияние несовершенства почти сферического конденсатора R = 1 + ej(j, q) на его емкость. |
| 74. | Нарисовать график u(x,1), если 0 £x£ 1, |
| 75. | Вследствие годовых колебаний температуры земля в городе N промерзает на глубину 2 м. На какую глубину она промерзла бы вследствие суточных колебаний такой же амплитуды? |
| 76. | Исследовать поведение при t® + ¥ решения задачи |
| 77. | Найти собственные числа оператора Лапласа D º div grad на сфере радиуса R в евклидовом пространстве размерности n и их кратности. |
| 78. | Решить задачу Коши |
| 79. | Сколько решений имеет краевая задача |
| 80. | Решить уравнение |
| 81. | Найти функцию Грина оператора d 2/dx2 – 1 и решить уравнение |
| 82. | При каких значениях скорости c уравнение ut = u – u2 + uxx имеет решение в виде бегущей волны u = φ(x – ct), φ(–∞) = 1, φ(∞) = 0, 0 ≤ u ≤ 1? |
| 83. | Найти решения уравнения ut = uxxx + uux, имеющих вид бегущей волны u = φ(x – ct), φ(±∞) = 0. |
| 84. | Найти число положительных и отрицательных квадратов в нормальной форме квадратичных форм |
| 85. | Найти длины главных осей эллипсоида |
| 86. | Через центр куба (тетраэдра, икосаэдра) провести прямую так, чтобы сумма квадратов расстояний до вершин была: а) минимальной, б) максимальной. |
| 87. | Найти производные длин полуосей эллипсоида x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx = 1 + εxy по ε при ε = 0. |
| 88. | Какие фигуры могут получиться при пересечении бесконечномерного куба { |xk| £ 1, k = 1, 2, ...} двумерной плоскостью? |
| 89. | Вычислить сумму векторных произведений [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y]. |
| 90. | Вычислить сумму коммутаторов матриц [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]], где [A, B] = AB – BA. |
| 91. | Найти жорданову нормальную форму оператора ed/dt в пространстве квазимногочленов {eltp(t)}, где степени многочленов p меньше 5; оператора adA, B® [A, B] в пространстве (n × n)-матриц B, где A – диагональная матрица. |
| 92. | Найти порядки подгрупп группы вращений куба и ее нормальные делители. |
| 93. | Разложить пространство функций, заданных в вершинах куба, на инвариантные подпространства, неприводимые относительно группы а) его симметрий, б) его вращений. |
| 94. | Разложить пятимерное вещественное линейное пространство на неприводимые инвариантные подпространства группы, порожденной циклической перестановкой базисных векторов. |
| 95. | Разложить пространство однородных многочленов пятой степени от (x, y, z) на неприводимые подпространства, инвариантные относительно группы вращений SO(3). |
| 96. | Каждый из 3600 абонентов телефонной станции вызывает ее в среднем раз в час. Какова вероятность того, что в данную секунду поступит 5 или более вызовов? Оценить средний промежуток времени между такими секундами (i, i + 1). |
| 97. | Частица, блуждающая по целым точкам полуоси x³ 0, с вероятностью a сдвигается на 1 вправо, с вероятностью b влево, в остальных случаях остается на месте (при x = 0 вместо сдвига влево точка остается на месте). Определить установившееся распределение вероятностей, а также математическое ожидание x и математическое ожидание x² через большое время, если вначале частица находилась в точке 0. |
| 98. | Каждый из участников игры в очко на пальцах, стоящих по кругу, выбрасывает несколько пальцев правой руки, после чего для определения победителя суммарное число выкинутых пальцев отсчитывается по кругу от водящего. При каком числе участников N вероятность выигрыша хотя бы одного из подходящих N/10 участников становится больше 0,9? Как ведет себя при N® ¥ вероятность выигрыша водящего? |
| 99. | Один из игроков прячет монету в 10 или 20 копеек, а другой отгадывает. Отгадавший получает монету, не отгадавший платит 15 копеек. Честная ли это игра? Каковы оптимальные смешанные стратегии обоих участников? |
| 100. | Найти математическое ожидание площади проекции куба с ребром 1 на плоскость при изотропно распределенном случайном направлении проектирования. |