Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:
1) аналитический
2) графический
3) табличный
Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.
Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.
|
|
Графическая интерпретация аппроксимации.
Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий.
Обозначим через fiзначение, вычисленное из функциональной зависимости для x=xiи сопоставляемое с yi.
Одно из условий согласования можно записать как
S = (fi-yi) min ,
т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=xi должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.
Использование критерияS = |fi-yi| min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.
Учитывая вышеизложенное, используют критерийнаименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которой
S = (fi-yi)2 , (1)
обращается в минимум.
В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен
f(x)=C0 +C1X+C2X2+...+CMXM. (2)
Формула (1) примет вид S = ( C0 +C1Xi+C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) 2
Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С0,С1,...СМ :
SC0 = 2 ( C0 +C1 Xi+C2
Xi2+...+CM
XiM - Yi ) = 0 ,
SC1 = 2 ( C0 +C1 Xi+C2
Xi2+...+CM
XiM - yi ) Xi = 0 ,(3)
SCM = 2 ( C0 +C1 Xi+C2
Xi2+...+CM
XiM - Yi ) XiM = 0 ,
Тогда из (3) можно получитьсистему нормальных уравнений
C0 (N+1) + C1
Xi +C2
Xi2 +...+ CM
XiM =
Yi ,
C0 Xi +C1
Xi2 +C2
Xi3 +...+ CM
XiM+1 =
Yi Xi ,(4)
C0 XiM +C1
XiM+1 +C2
XiM+2 +...+ CM
Xi2M =
Yi XiM .
Для определения коэффициентов Сi и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.
(N+1) | | | ... | | |
Xi | | | ... | | Yi Xi |
... | ... | ... | ... | ... | ... |
XiM | | | ... | | |
Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения.