Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется данными, помещенными в табл.2 Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:
100 160 275 40 а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21 = –––– = 0.55 ; а22 = –––– = 0.1 500 400 500 400
Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.
Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2
х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1
х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2
Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1 и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.
Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400, задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.
РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.
Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).
Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6' ) допустимым решением.
Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.
Так, например, если
0.9 0.8 0.1 -0.8 А= , то Е - А =
0.6 0.9 -0.6 0.1
и уравнение ( 6' )запишется в виде
0.1 -0.8 х1 у1
-0.6 0.1 х2 у2
или в развернутой форме
0.1х1 - 0.8х2 = у1 ( a )
-0.6х1 + 0.1х2 = у2
Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение
-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,
которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).
Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ).
Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.
Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.
При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной.
Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.
Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде
_ _
х = S·У ( 7 )
Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.
Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:
x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn
x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn 33333( 8 )
………………………………
xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn
ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ
ЗАТРАТЫ.
Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S.
Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.
1
_ 0
У1 = :
0
Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим
1 S11
_ 0 S21 _
х = S : = : = S1
0 Sn1
задавшись ассортиментным вектором,
0
_ 1
У2 = 0
:
0
получим
0 S12
_ 1 S22 _
х = S : = : = S2
0 Sn2
Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит
0 S1k
_ : S2k _
х = S 1 = : Sk55555 ( 9 )
: Snk
0
Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:
Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т.д., в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции.
Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S1k, S2k, …, Sik, …, Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a1k ), 2-й отрасли (a2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ( ai1, ai2, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2
Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.
Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а11=0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у1=0 и у2=1 ( см п.2 ):
0.8х1 - 0.4х2 = 0
-0.55х1 + 0.9х2 = 1
Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые затраты ), то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а12 ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4
Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.
Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( aik ), так и косвенные ( Sik - aik ) затраты.
Очевидно, что всегда Sik > aik.
Если необходимо выпустить уk единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ):
x1 = S1k·yk, x2 = S2k·yk, …, xn = Snk·yk ,
что можно записать короче в виде:
_ _
x = Sk·yk ( 10 )
Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортиментным вектором
_ у1
У = : , то валовый выпуск k-й отрасли xk, необходимый для его
уn
обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбца Sk на вектор У, т.е.
_ _
xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk·y , ( 11 )
а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У.
Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S, можно по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.
Можно также определить, какое изменение в вектор-плане Dх = ( Dх1, Dх2, …, Dхn ) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта DУ = ( Dу1, Dу2, …, Dуn ) по формуле:
_ _
Dх = S·DУ , ( 12 )
Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:
0.2 0.4
А =
0.55 0.1
Следовательно,
1 -0.2 -0.4 0.8 -0.4
Е - А = =
-0.55 1 -0.1 -0.55 0.9
Определитель этой матрицы
0.8 -0.4
D [ E - A ] = = 0.5
-0.55 0.9
Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем:
0.9 0.4
( Е - А )* = ,
0.55 0.8
откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:
1 0.9 0.4 1.8 0.8
S = ( Е - А )-1 = ––– =
0.5 0.55 0.8 1.1 1.6
Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S11=0.8 и S21=1.5. Сравнивая с прямыми затратами а11=0.2 и а21=0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.
Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S12=0.8 и S22=1.5, откуда косвенные затраты составят 0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.
Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей.
Тогда необходимый валовый выпуск х = х1 найдется из равенства ( 7 ):
х2
_ _ 1.8 0.8 480 1000
х = S·У = · =
1 1.6 170 800 .
ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.
Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.
Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений – через xn+2,k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты aik,
xn+1,k
введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k = ––––– , и
xk
xn+2,k
капиталовложений an+2,k = ––––– , представляющих собой расход соответствующего
xk
ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:
a11 a12 … a1k … a1n
a21 a22 … a2k … a2n основная часть матрицы
…………………………………
А' = ai1 ai2 … aik … ain
…………………………………
an1 an2 … ank … ann
an+1,1 an+1,2 … an+1,k … an+1,n
an+2,1 an+2,2 … an+2,k … an+2,n дополнительные строки
При решении балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрица А ). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.
Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е.
_ 1
У = 0
:
0 .
Для этого требуется валовый выпуск продукции
S11
_ _ S21
x = S1 = :
Sn1
Подсчитаем необходимые при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю – an+1,2S21 и т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:
_ _
Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1 ,
т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S.
Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят:
_ _
Sn+1,k = an+1Sk ( 13 )
Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:
_ _
Sn+2,k = an+2Sk ( 14 )
Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов Sn+1,k и Sn+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:
S11 S12 … S1k … S1n матрица коэффициентов
S21 S22 … S2k … S2n полных внутрипроизводст.
………………………………… затрат
S' = Si1 Si2 … Sik … Sin
………………………………… ( 15 )
Sn1 Sn2 … Snk … Snn
Sn+1,1 Sn+1,2 … Sn+1,k … Sn+1,n дополнительные строки
Sn+2,1 Sn+2,2 … Sn+2,k … Sn+2,n
Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.
Очевидно,
xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn , ( 16 )
xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,
т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У.
Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме:
x1
x2
_ : _
x = xn = S'У ( 17 )
xn+1
xn+2
Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда xn+1,k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений xn+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3
Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу:
0.2 0.4
А' = 0.55 0.1
0.5 0.2
1.5 2.0
Табл. 2
Потребление
| Итого затрат | Конечный продукт | Валовый продукт | | 1 | | 260 | 240 | 500 |
| 2 | |
| 315 | 85 | 400 | | Труд | | 330 | |   |
| Капиталовложения | | 1850 |   |   |
Обратная матрица S = ( E - A )-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте.
На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( Sn+1,k=S3,k ):
_ _
S31 = a3·S1 = 0.5 · 1.8 + 0.2 · 1.1 = 1.12 ;
_ _
S32 = a3·S2 = 0.5 · 0.8 + 0.2 · 1.6 = 0.72
и капиталовложений Sn+2,k = S4,k:
_ _
S41 = a4·S1 = 1.5 · 1.8 + 2.0 · 1.1 = 4.9 ;
_ _
S42 = a4·S2 = 1.5 · 0.8 + 2.0 · 1.6 = 4.4 .
Таким образом, расширенная матрица S' коэффициентов полных затрат примет вид:
1.8 0.8
S' = 1.1 1.6
1.12 0.72
4.9 4.4
Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным вектором У = 240 , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда xn+1 и
85
капиталовложений xn+2, получили бы
xn+1 = x3 = 1,12 · 240 + 0.72 · 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и xn+2 = xn = 4.9 · 240 + 4.4 · 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс.руб.,
что совпадает с исходными данными табл.3.
Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям
( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.
При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы ( 17 ).
Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480 . Тогда
170
_ х1 1.8 0.8 1000
х = х2 = 1.1 1.6 480 = 800
х3 1.12 0.72 170 600
х4 4.9 4.4 3100
Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс.руб.
Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.
Задача
В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел.-ч.
Таблица
Определить:
а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;
б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха;
в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;
г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю производственную программу завода;
д) производственные затраты на единицу конечной продукции.
Решение:
а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т.е.
_ _ 235
а4х = ( 1.4; 2.4; 0.8 ) 186 = 1088
397
Аналогично можно получить расход сырья II и т.д.
Все это удобно записать в виде произведения:
1.4 2.4 0.8 235 1088 Сырье I
0 0.6 1.6 186 = 746 Сырье II
2.0 1.8 2.2 397 1678 Топливо
0.1 0.2 0.2 1409 Человеко-часов.
б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у1=1 ) найдем из выражения 1.4S11 + 2.4S21 + 0.8S31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы:
I II III
1.4 2.4 0.8 1.04 0.21 0.02 1.97 2.92 1.36 Сырье I
0 0.6 1.6 0.21 1.05 0.13 = 0.17 0.84 2.09 Сырье II
2.0 1.8 2.2 0.03 0.13 1.26 2.53 2.60 5.23 Топливо
10 20 20 15.2 24.8 28.0 Труд
Таким образом, например, для изготовления у1=1 необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел.-ч.
в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов:
I II III
Сырье I 330 440 318
Сырье II 0 111 635
Топливо 470 335 873
Труд 2350 3720 7940
г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1.2 ) на последнюю матрицу:
330 440 318
0 111 635 I II III
( 5; 12; 2; 1.2 ) 470 335 873 = ( 5410; 8666; 20484 )
2350 3720 7940
д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен:
1.97 2.92 1.36
0.17 0.84 2.09 I II III
( 5; 12; 2; 1.2 ) 2.53 2.60 5.23 = ( 35.3; 59.6; 75.7 )
15.2 24.8 28.0
Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35.3 руб., 59.6 руб., 75.7 руб.