Методы решения уравнений, содержащих параметр (стр. 12 из 13)
Занятие № 7.
Тема: Графический метод. Координатная плоскость (x, y).
Цель занятия: научить использовать, при решении уравнений, координатную плоскость.
Литература для учителя: см. [1] , [4], [9], [11], [19], [24]
Литература для ученика: см. [11], [24]
Краткое содержание: Основой решения уравнений данным методом является построение графиков функций правой и левой частей и рассмотрение количества точек пересечения в зависимости от значения параметра. Поэтому задачи решаемые данным методом имеют свою специфику, а именно, рассматриваются задачи на нахождение количества корней уравнения при различных значениях параметра.
Занятие № 8.
Тема: Графический метод. Координатная плоскость (x, а).
Цель занятия: научить использовать, при решении уравнений, координатную плоскость (x, а); показать особенности решения при помощи этой плоскости.
Литература для учителя: см. [1] , [9], [19]
Литература для ученика: см. [19]
Краткое содержание: в отличие от предыдущего занятия здесь используется координатная плоскость (x, а) при решении уравнений, содержащих параметр.
Опытное преподавание.
Опытное преподавание осуществлялось во время прохождения практики на V курсе. Практика проходила в 10 классе 28 школы. Было разработано и проведено два занятия на тему «Параметр и решение линейных и простейших квадратичных уравнений с параметром».
Цели занятий:
ввести понятие параметра;
научить решать линейные и простейшие квадратичные уравнения с параметром;
повторить методы решения квадратных уравнений;
научить мыслить логически;
научить видеть особые значения параметра, которым соответствуют частные решения данного уравнения;
Литература для учителя: см. [1], [3], [16]
Литература для ученика: см. [3], [16]
Разработка факультативного занятия на тему: «Параметр и решение линейных уравнений и простейших квадратных уравнений с параметром».
Ход занятия.
Для того чтобы понять, что такое параметр разберем несколько простых примеров, с помощью которых мы и попытаемся понять смысл параметра.
Рассмотрим уравнение
(1).Зададим себе вопрос, как мы будем решать это уравнение. При делении на неизвестную величину
необходимо учесть, что эта величина может быть равна нулю. Рассмотрим случай когда 
.При
получаем следующее уравнение 
, которое не имеет решения. Если же 
, то мы можем разделить на a и получим 
.Теперь запишем ответ, но нужно учитывать то, что мы рассматривали различные значения неизвестной а и поэтому ответ нужно записывать для всех случаев.
Ответ. При
;При
нет корней.Следующее уравнение
(2) также как и (1) требует рассмотрения случаев, когда коэффициент при 
равен нулю или нет.Решение.
, то есть 
или 
. При первом значении мы получаем уравнение 
, у которого решений нет, а при втором значении получаем уравнение 
, решением которого является все множество действительных чисел.Если
, то мы можем разделить на коэффициент при х и получим 
.Запишем ответ.
Ответ. Если
, то 
;Если
, то нет решения;Если
и 
, то .Дальше рассмотрим уравнение
(3).Решение.
Решаем это уравнение методом группировки
и получаем
Ответ.
.В этом уравнении мы не рассматривали различные значения, принимаемые неизвестной а, так как при решении нам не приходилось делить на а.
Решая эти три уравнения, мы имели дело с уравнениями, содержащие параметр, где
- это параметр. Итак, давайте попробуем дать определение параметру. Мы узнали о параметре, решая эти три уравнения, что параметр есть неизвестная, так как он (параметр) принимал различные значения, но, с другой стороны, мы решали эти уравнения, принимая параметр за известную величину. Итак, параметр – это неизвестная, при некоторых значениях которой необходимо рассматривать и решать частные уравнения. Эти значения называются особыми. В первом уравнении особым значением параметра было значение неизвестной а, равное нулю, во втором – равное 1 и -1, а в третьем особых значений нет.Сейчас рассмотрим еще два уравнения, решить которые предлагается учащимся.
.Решение первого:
Если
, то решений нет, так как уравнение не имеет смысла.Если
, то 
так как деление на выражение с параметром нет, то дополнительно рассматривать различные значения, принимаемые параметром не нужно. То есть
.Ответ. Если
, то решений нет;Если
, то .Решение второго:
Для начала найдем, какие значения может принимать параметр. Для этого необходимо решить систему
, решением которой является промежуток 
.Теперь решаем само уравнение. В ходе решения у нас снова нет необходимости рассматривать какие-либо дополнительные условия.
Получаем, что
.Для тех значений параметра, которые не вошли в область значений параметра уравнение не имеет корней.
Ответ. Если
, то ;Если
, то корней нет.Для уравнений, в решении которых рассматривается различные значения параметра, будем пользоваться следующим алгоритмом решения.
Алгоритм.
Находим область значений параметра.
Для тех значений параметра, которые входят в область:
Находим особые значения параметра, при которых, содержащее параметр выражение, на которое происходит деление, обращается в 0. Для них рассматриваем уравнения, которые получились при подстановке значений параметра.
Решаем уравнение, исключая эти значения.
Для тех значений параметра, которые не входят в область - корней нет.
Собираем все значения параметра и соответствующие им значения неизвестной записываем ответ.
Дальше решим, используя алгоритм, следующее уравнение
.Решение. Это линейное уравнение. Найдем область значения принимаемые параметром –
.Для
. Рассмотрим 
, «нулевое» значение. Получаем уравнение , которое не имеет решения. Если 
, то решаем уравнение . Решением, которого есть 
.