Методы решения уравнений, содержащих параметр (стр. 6 из 13)

при

;

при

, .

Параметр и количество решений уравнений, содержащих параметр

Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладывается какие-либо ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки:

«При каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два решения, бесконечно много, ни одного»;

Решением уравнения (неравенства, системы) является какое-то подмножество множества действительных чисел и другие (см. [5]).

Пример. В зависимости от значения параметра

найти число корней уравнения

Решение. Наличие сложного корня наводит на мысль выделения квадрата двучлена под внешним корнем.

Итак, мы вплотную подошли к задаче рассмотрения различных случаев параметра

.

Если

, то уравнение не имеет решения.

Если

, то рассмотрим . Если , то . При условии , и очевидно это уравнение имеет только один корень.

Ответ. При

– одно решение,

при

– решений нет.

Пример. При каких значениях параметра

уравнение

имеет единственное решение?

Решение. Уравнение переписываем в равносильную систему

Решением неравенства является объединение промежутков

. Уравнение системы имеет один корень когда . , то есть при .

Теперь проверим, принадлежит ли корень нашим интервалам:

.Тогда

Ответ. При

уравнение имеет единственное решение.

Пример. При каких значениях параметра

уравнение

.

имеет единственное решение?

Решение. Запишем равносильное уравнение.

.

Теперь перейдем к следствию

. Откуда , . Возникла ситуация, которая дает нам возможность воспользоваться механизмом отсеивания корней.

Область определения исходного уравнения найдем из условий

Очевидно,

и удовлетворяют первым двум условиям. Тогда для единственности решения достаточно потребовать

Найдем решение первой системы, преобразуем ее.

Имеем, что решением первой системы является объединение интервалов

.

Вторая система решения не имеет.

Ответ.

.

Параметр и свойства решений уравнений, содержащих параметр

В этом пункте мы рассмотрим задачи, в которых условие требует, чтобы ответ был каким-либо наперед заданным подмножеством или идут ограничения на множество значений переменной

(см. [5], [12], [13]).

Пример. При каких значениях параметра

оба корня уравнения больше 3?

Решение. Корнями данного уравнения будут

Для условия необходимо выполнение системы

Первое неравенство системы и второе будут иметь общие точки только в том случае если выражение под корнем равно нулю.

Решим уравнение

.

Ответ. Ни при каких значениях параметра

оба корня данного уравнения не могут быть больше 3.

Параметр как равноправная переменная

Во всех разобранных задач параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем равноправная с другими. Подобная интерпретация, естественно, формирует еще один тип (а точнее метод решения) задач с параметрами (см. [5]).

Пример. Указать все значения параметра

, для которых уравнение имеет решение?

Решение. Обозначим

. Исходное уравнение , с учетом , равносильно системе

Рассмотрим квадратное уравнение, относительно параметра

. Найдем дискриминант рассматриваемого уравнения .

, так как и , то . Поэтому последняя система равносильна

Рассмотрим функцию

. Вершина параболы – есть точка с координатами . Минимум функции есть значение ординаты вершины параболы. Поэтому можем утверждать, что параметр принимает значения в отрезке на отрезке .

Ответ.

Замечание: другой способ решения будет рассмотрен позднее (см. пункт 4.2.4).

Пример. Решить уравнение

.

Важно показать при изучении параметров связь параметра с конкретными значениями и эта задача показывает эту связь. Цель этой задачи в том, чтобы показать что задачи, не содержащие параметр, можно решать и способами решения уравнений, содержащих параметр. Решение этого уравнения показывает, что исследования различных решений с параметрами позволяет решать задачи более простыми методами.

Решение. Это уравнение равносильно системе