Математика

Теорема Пифагора (стр. 2 из 2)

На рисунке 3 воспроизведен чертеж из трактата “Чжоу-би...”. Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете—16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

Древнеиндийское доказательство. Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате “Сиддханта широмани” (“Венец знания”) крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (рис. 4, а) с характерным для индийских доказательств словом “смотри!”. Как видим, прямо-угольньные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с² перекладывается в “кресло невесты” а²-b² (рис. 4, б). Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате “Сульва сутра” (VII —V вв. до н.э.).

Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги “Начал”. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты (рис. 5) и доказывается, что прямоугольникBJLD равновелик квадратуABFH, а прямоугольникICEL — квадрату АС КС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольникиABD иBFC равны по двум сторонам и углу между ними:FB=AB, BC==BD и ÐFBC=d+ÐABC=ÐABD. НоS_ABD=1/2 S_BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основаниеBD и общая высотаLD. Аналогично S _FBC=1\2 S_ABFH(BF—общее основание, АВ—общая высота). Отсюда, учиты

вая, чтоS_ABD=S_FBC, имеем S_BJLD= S_ABFH. Аналогично, используя равенство треугольников ВСК. и АСЕ, доказывается, что S_JCEL=S_ACKG. Итак,S_ABFH+S_ACKG=S_BJLD+S_JCEL= S_BCED , что и требовалось доказать. Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или древнеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли “ходульным” и “надуманным”. Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1-й книги “Начал”. Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь.

Еще давно была изобретена головоломка, называемая сегодня “Пифагор”. Нетрудно убедиться в том, что в основе семи частей головоломки лежат равнобедренный прямоугольный треугольник и квадраты, построенные на его катетах, или, иначе, фигуры, составленные из 16 одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников и потому укладывающиеся в квадрат. Такова лишь малая толика богатств, скрытых в жемчужине античной математики — теореме Пифагора. Далее я рассмотрю несколько алгебраических доказательств теоремы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА. Пусть Т— прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 6, а). Докажем, что с²=а²+Ь².

Построим квадратQ со стороной а+Ь (рис. 6, б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т₁,Т₂,Т₃,Т₄ с катетами а и b. ЧетырехугольникABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р — квадрат со стороной с.

Все треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе

треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть a и b— величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a+b= 90°. Угол у при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными a и b, составляет развернутый угол. Поэтому a+b=180°. И так как a+b= 90°, то g=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р — квадрат со стороной с.

КвадратQ со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T) .

Так какS(Q)=(a+b)² ; S(P)=c² иS(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство

(a+b)²=c²+4*(1/2)ab . Поскольку(a+b)²=a²+b²+2ab, то равенство (a+b)²=c²+4*(1/2)ab можно записать так: a²+b²+2ab=c²+2ab.

Из равенства a²+b²+2ab=c²+2ab следует, что с²=а²+Ь².

Ч.Т.Д.

ЕЩЕ ОДНО АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть АВС — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высотуCD из вершины прямого угла С (рис. 7).

По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе)соsА=AD/AC=AC/AB. ОтсюдаAB*AD=AC². Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. ОтсюдаAB*BD=ВС². Складывая полученные равенства почленно и замечая, чтоAD+DB=AB, получим:

АС²+ВС²=АВ(AD+ DB)=АВ². Теорема доказана.

В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к ней.

2