Графы. Решение практических задач с использованием графов (С++) (стр. 1 из 3)

Курсовая работа

Выполнил: студент 1-го курса факультета КНиИТ, группа № 121, Жучков Андрей Сергеевич

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Кафедра теоретических основ информатики и информационных технологий

Саратов 2005

Введение

В последнее время исследования в областях, традиционно относящихся к дискретной математике, занимают все более заметное место. Наряду с такими классическими разделами математики, как математический анализ, дифференциальные уравнения, в учебных планах специальности "Прикладная математика" и многих других специальностей появились разделы по математической логике, алгебре, комбинаторике и теории графов. Причины этого нетрудно понять, просто обозначив круг задач, решаемых на базе этого математического аппарата.

История возникновения теории графов.

Родоначальником теории графов принято считать математика Леонарда Эйлера (1707-1783). Однако теория графов многократно переоткрывалась разными авторами при решении различных прикладных задач.

Задача о Кенигсбергских мостах. На рис. 1 представлен схематический план центральной части города Кенигсберг (ныне Калининград), включающий два берега реки Перголя, два острова в ней и семь соединяющих мостов. Задача состоит в том, чтобы обойти все четыре части суши, пройдя по каждому мосту один раз, и вернуться в исходную точку. Эта задача была решена (показано, что решение не существует) Эйлером в 1736 году.

рис. 1

Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца, каким-то образом расположенные на плоскости. Провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались (рис. 2). Эта задача была решена (показано, что решение не существует) Куратовским в 1930 году.

рис. 2

Задача о четырех красках. Разбиение на плоскости на непересекающиеся области называется картой. Области на карте называются соседними, если они имеют общую границу. Задача состоит в раскрашивании карты таким образом, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом (рис. 3). С конца позапрошлого века известна гипотеза, что для этого достаточно четырех красок. В 1976 году Аппель и Хейкен опубликовали решение задачи о четырех красках, которое базировалось на переборе вариантов с помощью компьютера. Решение этой задачи «программным путем» явилось прецедентом, породившим бурную дискуссию, которая отнюдь не закончена. Суть опубликованного решения состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число (около 2000) типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и показать, что ни один случай контрпримером не является. Этот перебор был выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера. Проверить «вручную» полученное решение невозможно – объем перебора выходит далеко за рамки человеческих возможностей. Многие математики ставят вопрос: можно ли считать такое «программное доказательство» действительным доказательством? Ведь в программе могут быть ошибки… Методы формального доказательства правильности программ не применимы к программам такой сложности, как обсуждаемая. Тестирование не может гарантировать отсутствие ошибок и в данном случае вообще невозможно. Таким образом, остается уповать на программистскую квалификацию авторов и верить, что они сделали все правильно.

Рис. 3

Основные понятия теории графов

Графом G(V,E) называется совокупность двух множеств – непустого множества V(множества вершин) и множества E двухэлементных подмножеств множества V(E – множество ребер).

Ориентированным называется граф, в котором

- множество упорядоченных пар вершин вида (x,y), где x называется началом, а y – концом дуги. Дугу (x, y) часто записывают как . Говорят также, что дуга ведет от вершины x к вершине y, а вершина y смежная с вершиной x.

Если элементом множества E может быть пара одинаковых (не различных) элементов V, то такой элемент множества E называется петлей, а граф называется графом с петлями (или псевдографом).

Если E является не множеством, а набором, содержащим несколько одинаковых элементов, то эти элементы называются кратными ребрами, а граф называется мультиграфом.

Если элементами множества E являются не обязательно двухэлементные, а любые подмножества множества V, то такие элементы множества E называются гипердугами, а граф называется гиперграфом.

Если задана функция F : V → M и/или F : E → M, то множество M называется множеством пометок, а граф называется помеченным (или нагруженным). В качестве множества пометок обычно используются буквы или целые числа. Если функция F инъективна, то есть разные вершины (ребра)имеют разные пометки, то граф называют нумерованным.

Подграфом называется граф G′(V′,E′), где

и/или .

Если V′ = V, то G′ называется остовным подграфом G.

Если

, то граф G′ называется собственным подграфом графа G.

Подграф G′(V′,E′) называется правильным подграфом графа G(V,E), если G′ содержит все возможные рёбра G.

Степень (валентность) вершины – это количество ребер, инцидентных этой вершине (количество смежных с ней вершин).

Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и ребер

, в которой любые два соседних элемента инциденты.

Если

, то маршрут замкнут, иначе открыт.

Если все ребра различны, то маршрут называется цепью.

Если все вершины (а значит, и ребра) различны, то маршрут называется простой цепью.

Замкнутая цепь называется циклом.

Замкнутая простая цепь называется простым циклом.

Граф без циклов называется ациклическим.

Для орграфов цепь называется путем, а цикл – контуром.

рис. 4. Маршруты, цепи, циклы

Пример

В графе, диаграмма которого приведена на рис.4:

v1, v3, v1, v4 – маршрут, но не цепь;

v1, v3, v5, v2, v3, v4 – цепь, но не простая цепь;

v1, v4, v3, v2, v5 – простая цепь;

v1, v3, v5, v2, v3, v4, v1 – цикл, но не простой цикл;

v1, v3, v4, v1 – простой цикл.

Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все ребра графа по одному разу, то такой цикл называется эйлеровым циклом.

Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа (по одному разу), то такой цикл называется гамильтоновым циклом.

Деревом называется связный граф без циклов.

Остовом называется дерево, содержащее все вершины графа.

Паросочетанием называется множество ребер, в котором никакие два не смежны.

Паросочетание называется максимальным, если никакое его надмножество не является независимым.

Две вершины в графе связаны, если существует соединяющая их простая цепь.

Граф, в котором все вершины связаны, называется связным.

Граф, состоящий только из изолированных вершин, называется вполне несвязным.

Длиной маршрута называется количество ребер в нем (с повторениями).

Расстоянием между вершинами u и v называется длина кратчайшей цепи

, а сама кратчайшая цепь называется геодезической.

Диаметром графа G называется длина длиннейшей геодезической.

Эксцентриситетом вершины v в связном графе G(V,E) называется максимальное расстояние от вершины v до других вершин графа G.

Радиусом графа G называется наименьший из эксцентриситетов вершин.

Вершина v называется центральной, если ее эксцентриситет совпадает с радиусом графа.

Множество центральных вершин называется центром графа.

рис. 5 Эксцентриситеты вершин и центры графов (выделены).

Основные теоремы теории графов

Опираясь на приведенные выше определения теории графов, приведем формулировки и доказательства теорем, которые затем найдут свои приложения при решении задач.

Теорема 1. Удвоенная сумма степеней вершин любого графа равна числу его ребер.

Доказательство. Пусть А1, А2, А3, ..., An — вершины данного графа, a p(A1), p(А2), ..., p(An) – степени этих вершин. Подсчитаем число ребер, сходящихся в каждой вершине, и просуммируем эти числа. Это равносильно нахождению суммы степеней всех вершин. При таком подсчете каждое ребро будет учтено дважды (оно ведь всегда соединяет две вершины).

Отсюда следует: p(A1)+p(А2)+ ... +p(An)=0,5N, или 2(p(A1)+p(А2)+ ... +p(An))=N , где N — число ребер.

Теорема 2. Число нечетных вершин любого графа четно.

Доказательство. Пусть a1, a2, a3, …, ak — это степени четных вершин графа, а b1, b2, b3, …, bm — степени нечетных вершин графа. Сумма a1+a2+a3+…+ak+b1+b2+b3+…+bm ровно в два раза превышает число ребер графа. Сумма a1+a2+a3+…+ak четная (как сумма четных чисел), тогда сумма b1+b2+b3+…+bm должна быть четной. Это возможно лишь в том случае, если m — четное, то есть четным является и число нечетных вершин графа. Что и требовалось доказать.

Эта теорема имеет немало любопытных следствий.

Следствие 1. Нечетное число знакомых в любой компании всегда четно.

Следствие 2. Число вершин многогранника, в которых сходится нечетное число ребер, четно.