Комбинаторные формулы (стр. 2 из 2)
Задачи с решениями.
Задача I.
Сколькими различными способами можно расставить на полке собрание сочинений, состоящее из 10-ти томов, при условии, что первый и пятый тома не должны стоять рядом.
Задача II.
Автокомбинат имеет 7 автомобилей малой грузоподъёмности и 10 большегрузных автомобилей. Нужно выбрать 3 автомобиля малой грузоподъёмности для обслуживания трёх торговых организаций и 5 большегрузных автомобилей для работы на стройке. Сколькими способами автокомбинат может осуществить свой выбор?
Задача III.
Имеется пять кусков материи разных цветов. Сколько из этих кусков можно сшить различных флагов, если флаги состоят из трёх горизонтальных полос, причём две соседние полосы должны быть разного цвета?
Задача IV.
Сколько существует различных вариантов рассадки n человек за круглым столом, причём один вариант отличается от другого тем, что хотя бы у одного человека при разных вариантах разные соседи слева.
Задача V.
У Деда Мороза в мешке 7 одинаковых подарков, которые можно произвольным образом распределить среди 5-ти детей. Сколькими способами можно это сделать?
Задача VI.
Сколько различных раскладов можно получить, раздавая колоду из 52-х карт четырём игрокам?
Задача VII.
Сколько различных раскладов можно получить, раздавая колоду из 52-х карт четырём игрокам, при условии, что каждый игрок получает одного туза?
Задача VIII. У Деда Мороза в мешке 7 различных подарков, которые можно произвольным образом распределить среди 5-ти детей. Сколькими способами можно это сделать?
Ответы.
Задача I. 8×9! Задача II.
× 
. Задача III. 
+2× 
. Задача IV. (п–1)! Задача V. 
. Задача VI. 
. Задача VII. 
Задача VIII. 57.Решения.
Задача I.
Всего существует 10! различных перестановок 10-ти книг. Чтобы подсчитать, сколько можно найти перестановок, в которых первый и пятый тома стоят рядом, предположим, что к первому тому приклеен справа пятый том, и они как бы образуют отдельную книгу. Таким образом, получилось 9 книг, которые могут быть расставлены 9! способами. Теперь нужно учесть, что первый и пятый тома могут быть склеены в другом порядке, и можно получить ещё 9! различных перестановок 10-ти книг, в которых первый и пятый тома стоят рядом. Отсюда следует, что ответ задачи составляет число, равное 10!–2×9!=8×9!
Задача II.
Один выбор тройки автомобилей малой грузоподъёмности от другого может отличаться не только составом выбранных машин, но и их распределением по торговым организациям. Возможно, что эти торговые организации расположены на различных расстояниях от автокомбината, что у них разные условия оплаты труда и т. п. Таким образом, здесь речь идёт о размещениях из семи по три, число которых равно
.Напротив, выбор тяжёлых грузовиков определяется только их составом, так как все они будут работать, как можно заключить из формулировки задачи, в одинаковых условиях. Таким образом, здесь речь идёт о сочетаниях из десяти по пять, число которых равно
.Теперь заметим, что каждый выбор автомобилей малой грузоподъёмности может быть осуществлён при
различных вариантах выбора тяжёлых грузовиков. Отсюда следует, что выбрать требуемую восьмёрку машин автокомбинат может числом способов, равным × .Задача III.
Если флаги составлять из трёх полос трёх разных цветов, то один флаг от другого может отличаться не только выбором цветов полос, но и порядком их расположения. Это значит, что из пяти кусков можно изготовить
различных флагов, состоящих из трёх полос трёх различных цветов.По условию задачи каждый флаг можно изготовить из полос двух цветов, например, следующих сверху вниз в таком порядке: “красная, белая, красная”, или в таком порядке: “белая, красная, белая”. Выбор двух цветов можно осуществить числом способов, равным
и при каждом варианте выбора получить два различных флага.Из сказанного следует, что всего можно изготовить
+2× различных флагов.Задача IV.
Занумеруем всех людей числами от 1 до п. Посадим за стол человека с номером 1 на любое место. Будем называть это место первым. Для того, чтобы занять место слева от него (назовём это место вторым) есть п–1 претендент. Таким образом, мы получаем п–1 вариант посадки двух человек. Выбрав кого-либо из претендентов на второе место, и обозначив место слева от второго третьим, будем на третье место иметь п–2 претендента. Отсюда следует, что первые три места можно занять числом способов, равным (п–1)(п–2). Действуя таким образом дальше, мы очевидно переберём все способы посадки п человек за круглым столом, и эт их способов будет (п–1)×(п–2) ×¼×3×2=(п–1)!
Задача V.
К сожалению, условие задачи не накладывает никаких ограничений на действия Деда Мороза, кроме одного: все подарки должны быть розданы. Таким образом, все подарки могут достаться, например, одному ребёнку.
Обозначим каждого ребёнка символом Рi, где i= 1,2,3,4,5, а каждый подарок буквой П. Рассмотрим последовательность
Р1, П, П, Р2, Р3, П, П, П, Р4, П, Р5, П
Будем эту последовательность интерпретировать так: первый ребёнок получил 2 подарка, второй ребёнок не получил подарков, третий ребёнок получил 3 подарка, четвёртый и пятый получили по одному подарку. Теперь заметим, что каждый способ распределения подарков может быть представлен подобной последовательностью. Эта последовательность должна начинаться всегда с Р1, дальше на каком-то месте правее должен находиться символ Р2, дальше вправо– символ Р3 и т. д. На оставшиеся пустые места должны быть поставлены символыП. Число подарков, полученных ребёнком Рi(i=1, 2, 3, 4), равно числу символов П, стоящих между символами Рi и Рi+1. Пятый ребёнок получает столько подарков, сколько символов П находится после символа Р5. Всего в этой последовательности должно быть 7+5=12 членов, но первое место всегда занято символом Р1. Каждая такая последовательность отвечает единственному способу распределения подарков. Таких последовательностей можно найти столько, сколькими способами можно выбрать 7 мест из оставшихся 11-ти для символов П или, что то же самое, 4 места для символов Рi. Из этого следует, что существует
вариантов распределения подарков.В задачах VI и VII методы решения легко находятся, если известны ответы.
Задача VIII. Первый подарок можно отдать любому из пяти детей. Очевидно, второй подарок тоже может получить любой из пяти детей. Следовательно, два подарка можно распределить 25-ю способами. При этом третий подарок имеет 5 возможных владельцев, таким образом, имеется 53=125 вариантов распределения 3-х подарков, и т. д.
Задачи для самостоятельного решения.
1) Автокомбинат получил заявку от строительной фирмы на 5 тяжёлых грузовиков для работы на стройке. Тяжёлый грузовик можно заменить двумя лёгкими грузовиками. На автокомбинате в настоящий момент имеется 5 свободных тяжёлых грузовиков и 5 свободных лёгких грузовиков. Сколько вариантов составления колонны грузовиков для работы на стройке имеет автокомбинат? (Учесть, что каждая машина закреплена за своим шофёром).
Ответ: 101.
2) Сколькими способами можно разложить 7 одинаковых шаров по 4-м ящикам, если в каждый ящик должен попасть хотя бы один шар?
Ответ: 20.
3) Сколькими способами можно разложить 5 разноцветных шаров по 3-м ящикам?
Ответ: 243.
4) Директор фирмы составил список из 5-ти человек, которых он может назначить на вакантную должность своего заместителя, и список из 4-х человек, которых он может назначить на вакантную должность главного бухгалтера. В оба списка вошёл сотрудник Иванов. Других пересечений этих списков не оказалось. Сколько вариантов заполнения двух вакантных должностей имеет директор?
Ответ: 19.
5) Директор фирмы составил список из 5-ти возможных кандидатов на вакантные должности своих 1-го, 2-го и 3-го заместителей, а также список из 4-х возможных кандидатов на 2 вакантные должности своих помощников. Сколько вариантов заполнения пяти вакантных должностей имеет директор?
Ответ: 360.
6) Сколько можно найти вариантов расстановки на полке 10-ти томов собрания сочинений при условии, что первый, пятый и десятый тома не должны образовывать тройку стоящих рядом книг?
Ответ: 84×8!
7) У одного человека есть 7 книг, а у другого — 9 книг. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?
Ответ: 2940.
8) Бригада строителей состоит из 16-ти штукатуров и 4-х маляров. Сколькими способами бригаду можно разделить на две бригады, чтобы в одной из них было 10 штукатуров и 2 маляра, а в другой 6 штукатуров и 2 маляра?
Ответ: 48048