Статистическое определение вероятности (стр. 2 из 2)

Решения.

Задача I. Положение монеты на шахматной доске полностью определяется положением её геометрического центра. Всё множество исходов можно изобразить в виде квадрата S со стороной 5. Всё множество благоприятных исходов тогда изображается в виде квадрата s, лежащего внутри квадрата S, как это изображено на рисунке 1.

Искомая вероятность тогда равна отношению площади малого квадрата к площади большого квадрата, то есть, 4/25

Задача II. Обозначим через х расстояние от левого берега реки до точки падения первого человека, а через у – расстояние от левого берега до точки падения второго человека. Очевидно, что и х, и у принадлежат промежутку (0;100). Таким образом, можно заключить, что всё множество исходов можно отобразить на квадрат, левый нижний угол которого лежит в начале координат, а правый верхний – в точке с координатами (100;100). Две полосы: 0<y<10 и 90<y<100 являются изображениями тех исходов, при которых второй упал в воду не далее 10-ти метров от берега. Если .у>x, то есть второй упал ближе к правому берегу, чем первый, то для того, чтобы он был спасён, должно выполняться условие у<х+10. Если у<x, то есть второй упал ближе к левому берегу, чем первый, то для его спасения нужно, чтобы выполнялось условие у>х–10. Из сказанного следует, что все благополучные для второго человека исходы отображаются в заштрихованную область на рисунке 2. Площадь этой области легче всего подсчитать, вычитая из площади всего квадрата площади двух незаштрихованных треугольников, что даёт в результате 10000–6400=3600. Искомая вероятность равна 0,36.

Задача III.

По условию задачи положение танка на промежутке между двумя соседними минами полностью определяется положением прямой линии, равноотстоящей от бортов танка. Эта линия перпендикулярна линии, по которой установлены мины, и танк подрывается на мине, если эта линия расположена ближе, чем в 1-м метре от края промежутка. Таким образом, всё множество исходов отображается в промежуток длиной 15, а множество благоприятных исходов отображается в промежуток длиной 13, как показано на рисунке 3, Искомая вероятность равна 13/15.

Задача IV.

Обозначим одно из чисел х, а другое – у. Всё множество возможных исходов отображается в квадрат ОBCD , две стороны которого совпадают с осями координат и имеют длину, равную 2, как показано на рисунке 4. Допустим, что у–меньшее число. Тогда множество исходов отображается в треугольник ОCD с площадью, равной 2. Выбранные числа должны удовлетворять двум неравенствам:

у<х, у>х²

Множество чисел, удовлетворяющих этим неравенствам отображается в заштрихованную область на рисунке 4. Площадь этой области определяется как разность площади треугольника OEG, равной 1/2, и площади криволинейного треугольника OFEG. Площадь s этого криволинейного треугольника определяется формулой

и равна 1/3. Отсюда получаем, что площадь заштрихованной фигуры OEF равна 1/6. Таким образом, искомая вероятность равна 1/12.

Задача V.

Пусть длина отрезка равна l. Если принять за х и у расстояния от левого конца отрезка до точек, о которых говорится в условии задачи, то множество всех исходов можно отобразить на квадрат со стороной l, одна из сторон которого лежит на координатной оси х, а другая – на координатной оси у. Если принять условие у>х, то множество исходов отобразится на треугольник OВС, изображенный на рисунке 5. Площадь этого треугольника равна l²/2. Полученные отрезки будут иметь длины: х, у–х и l-у. Теперь вспомним геометрию. Из трёх отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда длина каждого отрезка меньше суммы длин двух других отрезков. Это условие в нашем случае приводит к системе трёх неравенств

Первое неравенство преобразуется к виду х<l/2, второе–к виду у>l/2, а третье неравенство – к виду у<х+l/2. Множество пар чисел х, у, являющееся решением системы неравенств отображается в заштрихованный треугольник на рисунке 5. Площадь этого треугольника в 4 раза меньше площади треугольника OВС. Отсюда следует, что ответ задачи составляет 1/4.

Задача VI.

Примем длину отрезка за l. Пусть расстояние от левого конца отрезка до первой точки равно х, до второй точки – у, а до третьей точки – z. Тогда всё множество исходов отображается в куб, три ребра которого лежат на осях х, у и z прямоугольной системы координат, и с ребром длиной l. Допустим, что у>х. Тогда множество исходов отобразится в прямую призму АВСА₁В₁С₁, изображенную на рисунке 6. Условие z>x означает, что все исходы будут отображаться в область, лежащую выше плоскости AD₁C₁B, показанной на рисунке 7. Эта плоскость Теперь все допустимые исходы будут отображаться в пирамиду с квадратом АА₁В₁В в основании и с высотой В₁С₁. Все исходы, удовлетворяющие условию z<y, отображаются в область, лежащую ниже плоскости DС₁В₁A, которая отсекает от этой четырёхугольной пирамиды треугольную пирамиду с прямоугольным равнобедренным треугольником АВ₁В в основании и с высотой В₁С₁. Искомая вероятность равна отношению объёма этой пирамиды, равного l³/6, к объёму призмы АВСА₁В₁С₁, равному l³/2. Таким образом, ответ задачи 1/3.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода – один час, а второго – два часа. Ответ: 139/1152.

2. На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты красный, затем снова одну минуту - зеленый и полминуты красный и т.д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки? Ответ: 2/3

3. На бесконечную шахматную доску с шириной клетки 5см брошена монета радиуса 1,5см. Найти вероятность того, что монета расположится не более чем в двух клетках шахматной доски. Ответ: 16/25.

4. В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность, что он остроугольный? Ответ: 1/4.

5. В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность, что он прямоугольный? Ответ: 0.

6. Стержень длины а наудачу разломан на три части. Найдите вероятность того, что длина каждой части окажется больше а/4. Ответ: 1/16.

7. Найдите вероятность того, что сумма двух наудачу взятых чисел из промежутка [–1; 1] больше нуля, а их произведение отрицательно. Ответ: 1/4.