Дифференциальные уравнения I и II порядка (стр. 4 из 8)

Из рисунка видно, что семейство интегральных кривых имеет две огибающие y=1 и y=-1, удовлетворяющих диффренциальному уравнению и, следовательно, дающих его два особых решения.

Найдем уравнения огибающих аналитически. Из Ф(x,y,c)=(x-c)²+y²-1,

получаем следующую систему уравнений

Исключая из уравнения параметр c, получаем y²=1. Данное уравнение дает две огибающих y=1 и y=-1.

Пример 7. Дано уравнение

Его общее решение будет

, представляющем семейство гипербол, изображенных на рис. 5.

Из

для нахождения предполагаемых огибающих получаем систему уравнений

Исключая из уравнений параметр c получаем уравнение кривой y=0, являющейся осью Ox.

Кривая y=0 удовлетворяет дифференциальному уравнениюи, следовательно, является его решением. Однако, она не является огибающей, так как не имеет общих точек с интегральными кривыми семейства. Таким образом, являясь решением уравнения, она не является его особым решением.

Далее будут рассмотрены методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений.

3. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

или

Разнося переменные x и y и их дифференциалы в разные стороны такого уравнения, оно может быть записано в виде

(отсюда происходит название данного типа уравнения).

Можно следующую интерпретацию происхождения данного уравнения.

Пусть величина Z является с одной стороны функцией величины y, т.е. z=M(y). С другой стороны величина Z является функцией величины x, т.е. z=g(x). Например, если Z-объем выпуска продукции, то с одной стороны z зависит от величины y – объема основных фондов, с другой стороны z может рассматриваться зависимой от величины x – объема затрачиваемых трудовых ресурсов. Таким образом, через соотношения z=H(y) и z=G(x) одна из величин y или x представляется функцией другойвеличины x или, соответственно,y. Исходное дифференциальное уравнение отображает эту функциональную связь через дифференциалы функций H(y) и G(x), уравнивая их, т.е. dz=dH(y)=dG(x). Отсюда можно считать, что

Таким образом, чтобы найти эту функциональную связь в виде y=y(x),x=x(y) или f(x,y)=0, надо проинтегрировать каждую из частей дифференциального уравнения, получая

и затем приравнять их H(y)+c₁=G(x)+c₂ (имея в виду z=H(y)+c₁, z=G(x)+c₂, и затем z исключается). Вместо двух постоянных c₁ и c₂обычно берется одна c=c₂-c₁, и тогда общее решение дифференциального уравнения записывается в виде

H(y)=G(x)+c.

Если это возможно, из него одна из величин может быть представлена явно функцией другой y=y(x) или x=x(y).

Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение получаемое при моделировании процесса распространения информации о новом товаре

Данное уравнение, очевидно, относится к уравнению с разделяющимися переменными. Разнеся переменные x и t и их дифференциалы по разные стороны, уравнение запишем в виде

или

Проинтегрируем каждую из сторон этого уравнения:

Приравнивая найденные интегралы получаем

или

где c=N(c₁-c₂). Отсюда далее

, где

. Так как по смыслу задачи

, то

, итогда

. Окончательно общее решение дифференциального уравнения получает вид

, где

Нетрудно проверить, что дискретной и огибающей кривых дифференциальное уравнение не имеет. Однако беря крайние значения для

равные

, получаем кривые x=N и x=0, являющиеся решениями уравнения, но не особыми.

Пример 2. Возьмем дифференциальное уранение

или

геометрическая иллюстрация решений которого рассматривается в параграфе 2.

Данное уравнение является с разделяющимися переменными> Разнося переменные в разные стороны, записываем уравнение в виде

Интегрирование левой и правой частей уравнения, дает общее решение вида

, где постоянная взята в виде lnc,c>0. Далее несложно преобразовать данное уравнение к виду

или

, где постоянная

уже не имеет ограничений на знак.

Как видно получилось семейство гипербол.

Пусть из данного семейства интегральных кривых (гипербол) необходимо выделить кривую (решение) проходящую через точку M(1,1), т.е. выделить решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1. Для этого в общее решение уравнения подставим значения x=1, y=1, и найдем, отвечающее искомой кривой, значение постоянной

. Очевидно, это значение равно

. Следовательно, искомое частное решение определяется уравнением

Yx=1 или

Пример 3. Рассмотрим уравнение

, приведенное в параграфе 3. Разрешая его относительно y^/, получаем два уравнения y^/=1 и y^/=-1 или

Оба являются с разделяющимися переменными и приводятся к виду dy=dx и dx=-dx. Интегрирование левых и правых частей уравнений дает следующие их общие решения y=x+c и y=-x+c.

Пример 4. Следующим уравнением возьмем уарвнение

из примера в параграфе 4.

Разрешая его относительно y^/получаем

или

Разделяя переменные имеем

Найдем интегралы от левой и правой частей уравнения:

Приравнивая интегралы и заменяя две постоянных на одну получаем следующий вид общего решения уравнения

Возводя в квадрат обе части данного уравнения, получаем окончательный вид общего решения

(x-c)²+y²=1.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение

Найти его частное решение при условии

Разрешая уравнение относительно y^/, видим, что оно является уравнением с разделяющимися переменными

Разнося переменные по разные стороны уравнения получаем