Дифференциальные уравнения I и II порядка (стр. 6 из 8)
,где A – произвольная постоянная. Очевидно,
является его частным решением, и, следовательно, может быть получено при некотором значении 
, т.е. 
.Если теперь освободиться от условия фиксирования постоянной
, то получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид 
.В нем второй множитель функция
является, как нетрудно видеть, частным решением при c=1 однородного линейного уравнения 
. Первый множитель функция 
представляет общее решение дифференциального уравнения u/v(x)=h(x).Действительно, подставляя в это уравнение u/x(x,c), получаем тождество
.Таким образом, показано, что общее решение линейного дифференциального уравнения
Представляется в виде y=u(x,c)v(x), где v(x) – частное решение однородного уравнения
, решаемое при c=1,u(x,c) – общее решение уравнения u/v(x)=h(x).Нетрудно видеть, что в обоих случаях приходится решать уравнение с разделяющимися переменными.
Заметим, что хотя при решении однородного уравнения
бралось частное решение V(x) однородного уравнения v/+g(x)v=0,Являющегося уравнением с разделяющимися переменными.
На втором этапе определяется решение u(x,c) дифференциального уравнения u/v(x)=h(x),
Также являющегося уравнением с разделяющимися переменными. После их решений общее решение исходного линейного уравнения представляется в виде
Y=u(x,c)v(x).
Пример 1. Решить уравнение
Y/+2y=sinx.
Сначала решаем однородное уравнение v/+2v=0.
Из него получаем
или 
.Интегрируя его левую и правую части, получаем его общий интеграл (решение) вида
.Полагая в нем c=0 и потенциируя его, получаем следующее его нетривиальное частное решение
.Далее решаем уравнение вида
или 
.Разнося переменные в разные части уравнения и интегрируя их, получаем общее решение этого уравнения
.Вычислим интеграл:
.Рассматривая данное уравнение, как уравнение относительно интеграла, находим его вид
.Следовательно,
.Тогда общее решение исходного уравнения будет
.Предположим теперь, что требуется выделить частное решение, проходящее через точку M(0,0), т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=0. Для этого подставим значения x=0, y=0 в общее решение и найдем соответствующее значение постоянной c:
, отсюда 
.Искомым частным решением является
.Пример 2. Решить уравнение
,являющееся линейным дифференциальным уравнением.
На первом этапе найдем решение соответствующего линейного однородного уравнения
, или 
.Разделяя переменные по разные стороны уравнения, имеем
.Интегрируя обе части данного уравнения, получаем следующее его частное решение
.На втором этапе решаем уравнение вида
.Делая замену
, сокращая обе части уравнения на 
и разделяя переменные, имеем du=x2dx.Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем его общее решение
.Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид
.6. Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
Определение. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в виде
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0,
Где M(x,y) и N(x,y) – функции двух переменных x и y. Тогда, если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е.
dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,
то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.
Уравнение в полных дифференциалах кратко можно представить в виде
dU(x,y)=0,
а поэтому общий интеграл (решение) такого уравнения имеет вид U(x,y)=0.
Дифференциальное уравнение такого типа возникает, когда поведение системы подчинено условию сохранения некоторой величины U(энергии, массы, стоимости и т.д.).
Отметим следующий признак, позволяющий определить является ли рассматриваемое уравнение уравнением в полных дифференциалах.
Путьс
dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, тогда функции M(x,y) и N(x,y) должны быть для U(x,y) частными производными первого порядка, соответственно, по переменным x и y, т.е.
.Предполагая функции M(x,y) и N(x,y) непрерывными и имеющими непрерывные частные производные, соответственно, по y и x, т.е. выполнение соотношений
,из тождества
получаем, что для M(x,y) и N(x,y) должно выполняться условие
.Полученное условие является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Было уравнением в полных дифференциалах.
Нахождение общего решения уравнения в полных дифференциалах проводится в два этапа.
На первом этапе функция U(x,y) рассматривается как функция только аргумента x, переменная y получает как бы фиксированное значение
. Тогда соотношению 
ставится в соответствие дифференциальное уравнение
.Пусть его общее решение представляется в виде
.Но так как решение уравнения зависит от y, то в общем решении постоянная c является функцией y, т.е. c=h(y). Следовательно, общее решение предыдущего дифференциального уравнения, снимая с y условие закрепления его значения, имеет вид
U(x,y)=g(x,y)+h(y).
На втором этапе находится вид функции h(y). Для этого обратимся к соотношению
,в котором уже закрепляется как бы значение переменной x.
Используя данное соотношение и вид функции U(x,y), получаем дифференциальное уравнение, связывающее переменные h и y:
или 
.Интегрируя это уравнение, находим его общее решение
.Из
, получаем окончательный вид функции U(x,y), а именно 
или 
.В последнем двойном интеграле вместо
можно взять функцию 
(т.к. 
). Тогда функция U(x,y) получает вид