Дифференциальные уравнения I и II порядка (стр. 8 из 8)

получаем

или

Интегрируя последнее уравнение, имеем

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид

7. Дифференциальные уравнения второго порядка.

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид

F(x,y,y^/,y^//)=0 или

Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y^//+py^/+qy=h(x),

где p и q – числа,h(x) – некоторая функция от x.

Если в этом уравнении

, то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Рассмотрим решение однородного уравнения

Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида

Называемое характеристическим. Его корни

, как известно, определяются формулами

Возможны следующие три случая для вида корней

этого уравнения: 1) корни уравнения – действительные и различные; 2) корни – действительные и равные; 3) корни уравнения – комплексно-сопряженные. Для каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид общего интеграла.

Случай 1. Дискриминант характеристического уравнения положителен, т.е. p²-4q>0. Тогда оба корня

действительные и различные. В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

где c₁, c₂ – произвольные постоянные.

Действительно, если

, то

. Подставляя выражения для y,y^/и y^// в уравнение получим

Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю, т.е p²-4q=0.

Тогда оба корня

действительные и равные, т.е.

В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид

Случай 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен, т.е. p²-4q<0.

Тогда говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных корней (или что оба корня являются комплексно-сопряженными). В этом случае, обозначая

, общее решение однородного уравнения дается в виде

Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения

y^//+py^/+g(y)\h(x),

где h(x) – некоторая функция от x.

Пусть в этом уравнении q=0, тогда, используя подстановку y^/=z, y^//=z^/, приходим к решению линейного дифференциального уравнения первого порядка z^/+pz=h(x).