Смекни!
smekni.com

Математический анализ (стр. 2 из 3)

а ,а ,...,а с коэффициентами , ,..., .

Множество,для элементов которого определены операции (сложения

и умножения на число),для которых справедливы выше восемь св-в

(аксиом) называется линейным пространством.

§2.Понятие линейной зависимости,размерности,базиса и координации.

Система векторов а ,а ,...,а называется линейно зависимой,если

хотя бы один из векторов этой системы есть линейная комбинация

остальных векторов этой системы.

ИЛИ

Для того,чтобы система векторов а ,а ,...,а была линейно зависи-

мой необходимо и достаточно,чтобы существовали числа , ,..., ,

не равные 0,такие что линейная комбинация а + а +...+ а

равнялась нуль-вектору.

Система векторов называется линейно не зависимой,если она не яв-

ляется линейно зависимой,т.е. ни один вектор этой системы не яв-

ляется линейной комбинацией остальных и равенство 0 линейной ком-

бинации векторов этой системы возможно только в том случае,когда

все коэффициенты равны 0.

Размерностью линейного пространства называется максимальное число

линейно не зависимых векторов.

Базисом называется линейно независимая система векторов,такая,

при которой любой вектор,принадлежащий этому пространству,может

быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Теорема единственности:

Если задан базис е ,е ,е ,то разложение любого вектора а по этому

базису единственно:

а= е + е + е

Если дан базис е ,е ,е ,то коэффициенты разложения вектора по

этому базису называются координатами.

а=( , , )

замечание:у одного и того же вектора в разных базисах разные

координаты.

Условие коллинеарности:

/ = / = /

замечание:если в одной из дробей в знаменателе 0,то равенство

нужно понимать так,что в числителе тоже 0.

Каноническое ур-е прямой:

x x /m=y-y /p=z-z /q

§3.ПОНЯТИЯ ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСЬ,СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

СВ-ВА ПРОЕКЦИИ И СКАЛЯР.ПРОИЗВЕДЕНИЯ.ПРИЛОЖЕНИЕ.

Углом между двумя векторами (отличными от 0) называется наименьший

угол между двумя лучами,проведенные из одной точки пространства в

направлениях этих векторов.

Численной проекцией вектора а на вектор b (b=0) называется число

равное произведению модуля а на cos угла между ними.

Пр а=¦а¦*cos a,b

Св-ва: Пр (а+b)=Пр а+Пр b

Пр (ka)=kПр а

Проекцией вектора на ось называется длина отрезка АВ между

основаниями перпендикуляров,опущенных из точек А и В на ось.

Радиус-вектором точки пространства называется вектор,идущий в эту

точку из некоторой фиксированной точки,наз. полюсом.

Скалярным произведением а и b называется число равное произведению

длин этих векторов на cos угла между ними.

CВ-ВА:

1.условие перпендикулярности векторов: (а,b)=0 <=> а_b

2.коммутативность: (а,b)=(b,а)

3.билинейность:

3.1: (а +а ;b)=(а ,b)+(а ,b)

(а,b +b )=(а,b )+(а,b )

3.2: ( а,b)=(а, b)= (а,b)

Правило:Скалярное произведение векторов равно сумме произведений

соответствующих координат.

(а,b)=x x +y y +z z

Приложения:

1.¦а¦= (а,а) = x +y +z ,если а=(x,y,z)

2.(а,b)=0<=>а_b

3.cos а,b=(а,b)/¦а¦¦b¦

4.Пр а=(а,b)/¦b¦

Направляющими косинусами углов называются cos углов,которые

вектор образует с векторами базиса i,j,k.

cos =x/¦a¦

cos =y/¦a¦

cos =z/¦a¦

cos +cos +cos =1,т.к. (x +y +z )/¦a¦=1.

§4.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВ-ВА.

Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел,

содержащая m строк и n столбцов.

Квадратной матрицей n-порядка называется матрица,у которой

число строк равно числу столбцов и равно n.

Каждой кв.матрице ставится в соответствие число называемое

определителем матрицы.

Определителем кв.матрицы n-порядка называется число равное

алгебраической сумме всевозможных произведений n-элементов

матрицы,взятых по одному из каждой строки и каждого столбца,

причем перед каждым произведением по определенному правилу

ставится знак "+" или "-".

Алгебраической суммой называется сумма,в которой где-то

ставится "+",а где-то "-".

Элементы матрицы,у которых No строки совпадает с No столбца

образуют главную диагональ матрицы.

Операция замены строк матрицы ее столбцами с соответствующими

номерами называется транспортированием,а получившаяся матрица-

транспортированной.

СВ-ВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ:

1.При транспортировании матрицы ее определитель не меняется.

2.Если в матрице поменять местами две строки (столбца),то ее

определитель умножится на -1.

3.Определитель матрицы равен сумме произведений элементов

какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

4.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы

умножить на число k, то ее определитель умножится на k.

5.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы

представляют собой сумму двух слагаемых,то определитель матрицы

равен сумме двух определителей.У первого на месте этой строки

стоят первые слагаемые,а у второго -вторые,а все остальные строки

у всех трех определителей одинаковы.

6.Определитель матрицы не изменится,если к одной ее строке

(столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

7.Если элементы одной строки умножить на соответствующие

алгебраические дополнения другой строки и сложить,то получится 0.

8.Линейная комбинация адгебраических дополнений элементов какой-

нибудь строки равна определителю,у которого на месте этой строки

стоят соответствующие коэффициенты линейной комбинации,а остальные

строки совпадают со строками данного определителя.

Минором,соответствующим элементу матрицы а ,называется определитель

матрицы,которая получится,если в данной матрице вычеркнуть строку

и столбец,в которых стоит а .

Алгебраическим дополнением элемента а называется число равное

А =М *(-1)

Достаточные признаки

равенства нулю

определителя:

1.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) матрицы равно

нулю,то определитель равен 0.

2.Если в матрице есть две одинаковые строки (столбца),то ее

определитель равен 0.

3.Если матрица содержит две строки,соответствующие элементы

которой пропорциональны,то ее определитель равен 0.

Необходимое и достаточное

условие равенства нулю

определителя:

Для того чтобы определитель матрицы был равен 0,необходимо и

достаточно,чтобы ее строки (столбцы) были линейно зависимы.

§5.ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ.

Тройка некомпланарных векторов a,b,c,начало которых совмещены,

называется правой,если кратчайший поворот от вектора а к вектору

b виден совершающимся против часовой стрелки с конца вектора с.В

противном случае тройка называется левой.

СВ-ВА ориентированных троек векторв:

1.Если a,b,c -правая,то тройки b,c,a и c,a,b будут тоже правыми.

Такая перестановка называется циклической перестановкой.Т.е. при

цикл.перестановке ориентация тройки не меняется.

2.Если a,b,c -правая,то тройки b,a.c и a,c,b -левые.Т.е.,если

поменять местами какие-нибудь два вектора,то ориентация тройки

изменится.

Векторным произведением a и b называется вектор с,такой что:

1.если а и b коллинеарны (দb),то их векторное произведение

с=[a,b]=0.

2.если а и b не коллинеарны,то с=[a,b] перпендикулярен а и _ b,

т.е.[a,b] _ пл-ти векторов а и b и [a,b] направлен в такую

сторону,что тройка векторов a,b,[a,b] -правая.Длина векторного

произведения равна ¦[a,b]¦=¦а¦¦b¦sin ab=S параллелограмма,

построенного на векторах а и b.

СВ-ВО векторного произведения:

1.[a,b]=0 <=>a¦¦b.

2.Антикоммутативность:

[a,b]=[b,a],но [a,b]=-[b,a].

3.Билинейность:

3.1:[a +a ,b]=[a ,b]+[a ,b]

[a,b +b ]=[a,b ]+[a,b ].

3.2:[ a,b]=[a, b]= [a,b].

¦i j k¦

[a,b]=¦x y z¦

¦x y z¦

Нормальный вектор -это вектор перпендикулярный пл-ти.

Ax+By+Cz+D=0 => n=(A,B,C)

Углом между двумя пл-тями называется угол между их нормальными

векторами.

Углом между прямой и пл-тью называется угол между прямой и ее

проекцией на пл-ть,sin этого угла равен cos ,где -угол между

направляющим вектором прямой и нормальным вектором пл-ти.

Смешанным произведением векторов a ,b ,c называется число,равное

скалярному произведению векторного произведения векторов a и b на

вектор с.

([a,b],c)

Геометрический смысл

смешанного произведения:

1.Если векторы a,b,c компланарны,то их смешанное произведение

равно 0.

2.Если векторы a,b,c не компланарны,то модуль смешанного произведе-

ния равен объему параллелепипеда,построенного на этих векторах,

причем смешанное произведение положительно,если тройка a,b,c -пра-

вая, и отрицательно,если тройка векторв -левая.

СВ-ВА смешанного

произведения:

1.([a,b],c)=(a,[b,c])

([a,b],c) -смешанное произведение a,b,c.

(a,[b,c]) -смешанное произведение b,c,a.

Эти смешанные произведения равны,т.к. параллелипипед один и тот же

и ориентации троек одинаковы (при циклической перестановки ориента-

ция троек не меняется).

Это св-во показывает,что квадратные скобки можно не ставить:

(a,b,c)=([a,b],c)

2.(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=(c,a,b)=-(b,a,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a)

3.Для того,чтобы a,b,c были компланарными <=> (a,b,c)=0

4.Для того,чтобы a,b,c были линейно зависимыми <=> (a,b,c)=0

5.Трилинейность:

5.1: (a+b,c,d)=(a,c,d)+(b,c,d)

5.2: ( a,b,c)=(a, b,c)=(a,b, c)= (a,b,c)

Вычисление смешанного

произведения:

a=(x ,y ,z )

b=(x ,y ,z )

c=(x ,y ,z )

¦x y z¦

([a,b],c)=¦x y z¦

¦x y z¦

§6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.

Прямая на пл-ти -частный случай прямой в пространстве.

У прямой в пространстве нет понятия нормального вектора.

Угловым коэффициентом прямой, не парал-ной оси y называ-

ется число k, равное tg угла, на который нужно повернуть

против часовой стрелки положительную часть оси х, чтобы

она стала парал-ной данной прямой.

tg =(k -k )/1+k k

Для перпендикулярных прямых: 1+k k=0

Для параллельных прямых:k =k

ГЛАВА#2:ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.

§1 ПОНЯТИЯ ДИФФ. Ф-ЦИИ, ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА.