Теория колец (стр. 2 из 3)
Пусть снова
- некоторое подкольцо. Поскольку (К,+) - подгруппа коммутативной группы (R,+), можно образовать факторгруппу R/K, элементами которой являются смежные классы r+K. Поскольку К*К 
К, для произведения двух смежных классов имеет место включение: (r+K)*(s+K) r*s+r*K+K*s+K.Определение.
Подкольцо К называется идеалом кольца R, если
: x*K K и K*y K.Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов (r+K)*(s+K) содержится в смежном классе r*s+K. Значит в факторгруппе R/K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.
Примеры.
1. Подкольцо nZ является идеалом кольца Z, поскольку для любого целого m m(nZ)
nZ. Факторкольцо Z/nZ - это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Отметим, что если число n не является простым, то Z/nZ имеет делители нуля.2. Пусть I
R[x] - множество всех многочленов 
, у которых 
=0. Удобно записать: I = xR[x]. Поскольку p*I =(p*x)R[x] I, мы имеем идеал кольца многочленов. Каждый смежный класс q+I содержит элемент 
. Значит, (q+I)*(s+I) = ( +I)*( 
+I) = * +I.3. В развитие предыдущего примера рассмотрим некоторое ассоциативное коммутативное кольцо S. Если
любой его элемент, то множество I=x*S является идеалом кольца S, называемым главным идеалом с образующим элементом x. Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x)=S.4. Если кольцо S является полем, то всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем. В самом деле, если
, x 
0, то для всякого 
имеем: 
, откуда 
.5. Пусть I идеал кольца R. Сопоставляя каждому элементу
смежный класс r+I, получаем сюръективный гомоморфизм 
. Этот гомоморфизм называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо.Замечание.
Свойства ассоциативности, коммутативности и наличия единицы очевидно сохраняются при переходе к факторкольцу. Напротив, отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце (см. пример 1).
Теорема об ядре.
Ядро гомоморфизма колец является идеалом.
Доказательство.
Пусть
- гомоморфизм колец, I =Ker 
, 
- любой элемент. Тогда, (x*I) = (x)* (I) = (x)*0 =0. Значит, x*I Ker =I. Аналогично проверяется, что I*x I.Теорема о гомоморфизме для колец.
Пусть
- сюръективный гомоморфизм колец. Тогда S изоморфно факторкольцу R/Ker 
. Если эти изоморфные кольца отождествить, то отождествляется с естественным гомоморфизмом кольца R на свое факторкольцо.Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для групп и мы его опускаем.
Пример.
Пусть K - кольцо многочленов R[x],
: K 
C - гомоморфизм, сопоставляющий каждому многочлену p его значение в точке i : (p) =p(i). Ядро этого гомоморфизма составляют многочлены, представимые в виде: ( 
+1)*q(x), где q - любой многочлен. Можно записать: Ker =( +1). По теореме о гомоморфизме 
.Кольцо многочленов над полем.
Кольцо многочленов над полем (в отличие от случая многочленов над кольцом) обладает рядом специфических свойств, близких к свойствам кольца целых чисел Z .
I. Делимость многочленов.
Хорошо известный для многочленов над полем R способ деления “углом” использует только арифметические действия над коэффициентами и потому применим к многочленам над любым полем k. Он дает возможность для двух ненулевых многочленов p,s
k[x] построить такие многочлены q (неполное частное) и r (остаток), что p = q*s +r , причем либо r =0, либо deg(r )< deg(s ). Если r =0 , то говорят, что s делит p (или является делителем p ) и обозначают это так: s | p. Будем называть многочлен унитарным ( или приведенным), если его старший коэффициент равен 1.Определение.
Общим наибольшим делителем ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД( p, s), что
1. ОНД( p, s) | p; ОНД( p, s) | s.
2. q | p, q | s
q | ОНД( p, s).По определению, для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0.
Аналогично определяется ОНД любого числа многочленов.
Единственность ОНД двух многочленов непосредственно вытекает из определения. Существование его следует из следующего утверждения.
Основная теорема теории делимости (для многочленов).
Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q.
Доказательство этой теоремы очень похоже на приведенное в лекции доказательство аналогичной теоремы над Z. Все же наметим основные его шаги.
Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень( но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r
0, то deg(r )<deg(w), что противоречит выбору w. Значит, r =0. Аналогично проверяется, что w | q. Обозначим: W = ОНД(p , q). По определению w | W. С другой стороны, W | p, W | q W | w. Остается заметить, что оба многочлена w и W унитарные и значит W = w.Замечание.
Используя индукцию, можно доказать, что для любого числа многочленов ОНД
для подходящих многочленов 
. Более того, эта формула сохраняется даже для бесконечного множества многочленов, поскольку их ОНД в действительности является ОНД некоторого их конечного подмножества.Следствие.
Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным.
В самом деле, пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда
, где 
. По определению идеала отсюда вытекает, что 
, а значит, I =(p).