Различные подходы к определению проективной плоскости (стр. 3 из 9)
Принято называть трехвершинники, удовлетворяющие теореме Дезарга, дезарговыми. ()О=АА'ÇВВ'ÇСС'- дезарговой, прямую, которой принадлежат точки P,Q,R - дезарговой. Для теоремы Дезарга имеет место обратная теорема:
Если точки пересечения соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников, проходят через одну точку.
Замечание: Трехвершинник - это фигура, которая состоит из трех точек не лежащих на одной прямой и прямых проходящих через каждую пару этих точек.  |
А,В,С- вершины прямые АВ,ВС,АС- стороны
1.5. Теорема Паппа.
Следующей составляющей данной теории является теорема Паппа- Паскаля, которая является частным случаем теоремы Паскаля. Сформулируем теорему Паскаля.
 |
рис. 1
Теорема Паскаля: Для того, чтобы шесть точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой принадлежали овальной кривой, необходимо и достаточно, чтобы точки пересечения соответствующих сторон шестивершинника* лежали на одной прямой. AB’ÇA’B=P,AC’ÇA'C=Q, BC’ÇB’C=R.(рис. 1)
P,Q,R принадлежат прямой (прямая Паскаля)
Рассмотрим теорему Паскаля в том частном случае, когда кривая второго порядка распадается на пару прямых. Пусть А,В,С,А',В',С'- шесть вершин шестиугольника Паскаля, расположенных по три на данных прямых l и l', которые мы рассматриваем как распавшуюся кривую второго порядка (рис 2). Тогда имеем следующие три точки пересечения пар соответствующих сторон шестиугольника: Р=АВ'ÇА'В, Q=А'СÇАС', R=ВС'ÇВ'С. По теореме Паскаля эти три точки лежат на одной прямой. Рассмотренный частный случай теоремы Паскаля был известен древним греческим геометрам и носил название теоремы Паппа. Теперь эта теорема носит название Паппа - Паскаля.
 |
Рис. 2 
*шестивершинником называется фигура состоящая из последовательности шести ()А1, А2, А3, А4, А5, А6 называемых вершинами и шести прямых А1А2, А2А3, А3А4, А4А5, А5А6, А6А1 называемых сторонами.  |
 |
 |
Мы рассмотрели один из подходов к определению проективной плоскости, а именно определения проективной плоскости на базе трехмерного векторного пространства.
Теперь рассмотрим аналитическое определение проективной плоскости.
Глава 2. Аналитическое построение проективной плоскости.
2.1. Понятие проективной плоскости.
Определение 1: Проективной точкой называется класс пропорциональных троек действительных чисел, не содержащих нулевой тройки.
Будем обозначать его Х={(Х1,Х2,Х3)}
Множество всех проективных точек называется действительной проективной плоскостью.
Определение 2: Проективной прямой называется множество всех точек удовлетворяющих линейному однородному уравнению вида:
С1Х 1+ С2Х 2+ С3Х 3=0 (1)
где хотя бы одно из чисел Ci отлично от нуля.
Определение 2 корректно, так как если тройка (Х1,Х2,Х3) удовлетворяет уравнению (1), то в силу его однородности при любом действительном l тройка (lХ1, lХ2, lХ3) удовлетворяет уравнению (1).
Точки, удовлетворяющие уравнению (1) удовлетворяют также линейному однородному уравнению.
(mС1)Х 1+ (mС2)Х 2+ (mС3)Х 3=0 (2)
при "mÎR: m¹0.
Поэтому каждой прямой, заданной уравнением (2) можно поставить во взаимно однозначное соответствие класс пропорциональных троек С={(С1,С2,С3)}. Так, что тройками из одного класса соответствует одна прямая, причем этот класс не содержит нулевой тройки. Ввиду этого прямую, заданную уравнением (2) будем обозначать той же буквой С, что и соответствующий класс {(С1,С2,С3)}.
Равенство (2) можно записать также в виде
СХ=0 (3)
Скалярное произведение троек С и Х. СХ= C1Х1 + С2Х2 + С3Х3 =0
Замечание: Рассмотрим 3-мерное линейное пространство L3. Исключим из него нулевой вектор 0. Множество L3\{0} разобьем по классам эквивалентности так, что векторы одного класса коллинеарны между собой. Каждый такой класс назовем проективной точкой, а множество всех классов 2-мерным проективным пространством (плоскостью). Множество всех классов, векторы которых принадлежат \{0} назовем одномерной проективной плоскостью (прямой).
В L3 введем координаты. Тогда каждому вектору соответствует строка (Х1,Х2,Х3), а каждому классу эквивалентности из L3\{0} (т.е. проективной ())- класс {(Х1,Х2,Х3)} пропорциональных строк, не содержащий нулевой строки.
Мы пришли к определению проективной плоскости.
2.2. Свойства проективной плоскости.
Докажем несколько простых теорем о взаимном расположении () и прямых на проективной плоскости.
Теорема 1: Через две различные () проходит единственная прямая.
Доказательство: 1) Существование. Пусть Х= {(Х1,Х2,Х3)} и У={(Y1,Y2,Y3)} две различные (). Определим прямую следующим образом:C= Х*Y то есть С =
так как CХ = (Х*Y)Х = |Х,Y,Х| = 0
CY = (Х*Y)Y = |Х,Y,Y| = 0
и по свойству определителей, то () Х и Y принадлежат прямой С.
2) Единственность. Если прямая С={(C1,C2,C3)} содержит () Х и Y, то любой представитель (C1,C2,C3) класса С удовлетворяет системе уравнений.
C1Х1 + C2Х2 + C3Х3 =0C1Y1 + C2Y2 + C3Y3 =0 (5)
$ бесконечное множество ненулевых решений этой системы (нулевое решение не определяет прямую). При этом для " решения (С1,С2,С3) справедливо равенство:
{(C1,C2,C3 )}= Х2,Х3 Х3,Х1 Х1,Х2Y2,Y3 , Y3,Y1 , Y1,Y2
Т.е. решения системы (5) образуют единственный класс ненулевых троек. Этот класс определяет единственную прямую С. ч.т.д.
Теорема 2: Две различные прямые имеют единственную общую точку.
Доказательство: Пусть, С={(С1,С2,С3)}, m={(m1,m2,m3)} две различные прямые. Найдем () Х ={(Х1,Х2,Х3)}, лежащую на этих прямых. Достаточно повторить доказательство предыдущей теоремы, заменив Х на С, Y на m, С на Х. Получим, что единственная общая точка Х определяется равенством
Х=С*m (6). ч.т.д.
Теорема 3: Для того, чтобы три () Х,Y,Z лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы
Х1 Х2 Х3|X,Y,Z|=0 (7), то есть Y1 Y2 Y3 =0
Z1 Z2 Z3
Доказательство: 1)Необходимость. Пусть () X,Y,Z лежат на одной прямой С. если хотя бы две из них совпадают, то равенство (7) следует из определения смешенного произведения и свойств определителя. Пусть эти () различны. Пользуясь теоремой 1, можно записать C=X*Y. Так как ()Z лежит на прямой C, то CZ=0 Þ (X*Y)Z=|X,Y,Z|=0
2)Достаточность. Пусть выполняется равенство (7). Рассмотрим произведение C=X*Y. Равенство (7) можно записать в виде (X*Y)Z=0, то есть CZ=0 Þ()z лежит на прямой C проходящей через () X и Y. Равенство (7) не зависит от выбора представителей точек.
Теорема доказана.
Теорема 4: Для того, чтобы три прямые c, m, n проходили через одну () необходимо и достаточно, чтобы
|c,m,n|=0 (8)
Для троек действительных чисел понятие линейной зависимости и линейной независимости определяется так же, как и для векторов. Пусть тройки x,…, x линейно зависимы. Легко проверить, что " другие тройки x,…, x, принадлежащие тем же классам, тоже линейно зависимы. Поэтому классы троек (точки) линейно зависимы, если линейно зависимы какие-нибудь представители этих классов.
Из теорем 3 и 4 следуют две теоремы.
Теорема 5: Для того, чтобы три () лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.
Теорема 6: Для того, чтобы три прямые проходили через одну (), необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.
2.3. Теорема Дезарга.
На проективной действительной плоскости имеет место теорема Дезарга.
Теорема Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.