Различные подходы к определению проективной плоскости (стр. 5 из 9)

í Р1, Р2ý из p1. Тогда p1 обладает следующим свойством;

а) " две различные ()p1 принадлежат одной прямой. Построим p2, исходя из p1, следующим образом. Точками p2 служат все точки p1; кроме того, каждая пара непересекающихся прямых l1,l2 задает новую точку l1Çl2. Прямыми p2 служат прямые p1, пополненные новыми точками; например, () l1Çl2 Î дополненным прямым l1 и l2. Тогда p2 обладает следующим свойством.

б) " две различные прямые имеют общую точку; продолжим это построение. Для четных n мы построим pn+1 из pn, добавляя к прямым pn новые прямые; для нечетных n мы построим pn+1 из pn, добавляя к () pn новые точки.

Пусть теперь П= Èpn

Элементы конфигураций pn мы назовем точками П; далее, прямой П мы назовем подмножество LÍП, такое, что LÇpn есть прямая из pn для всех достаточно больших n.

Предложение 1: Если p0 содержит по меньшей мере четыре точки, никакие три из которых не принадлежат одной прямой, то П - проективная плоскость.

Доказательство: pn удовлетворяет б) для четных n и удовлетворяет а) для нечетных nÞ на П выполняются оба свойства а) и б), то есть П удовлетворяет П1 и П2. Если P,Q,R неколлинеарны на p0, значит, П3, тоже выполняется.

Покажем, что в П каждая прямая содержит хотя бы три точки.

Каждая прямая из П определяется двумя точками.

По П2: " две прямые имеют общую ()

Пусть l: íP1,P2ý, m: íP3,Р4ý; по П2: lÇm=P5ÞP5Îl, P5Îm

Получим, каждая прямая содержит хотя бы три точки.

Все аксиомы проективной плоскости выполняются Þ П- проективная плоскость.

Определение: Ограниченной конфигурацией называется конфигурация, у которой каждая () принадлежит не менее чем трем прямым, а каждая прямая содержит не менее трех различных точек.

Пример: Конфигурация теоремы Дезарга ограничена.

Предложение 2: " конечная ограниченная конфигурация из П содержится в p0.

Доказательство: Уровнем () РÎП мы назовем наименьшее n³0,такое, что РÎpn. Уровнем прямой LÍП мы назовем наименьшее n³0, такое, что LÇpn - прямая.

Пусть S - ограниченная конечная конфигурация из П, и пусть n- максимальный из уровней всех точек и всех прямых из S.

Предположим, что n - уровень какой-то прямой LÍS (Если максимальный уровень достигается для точки, то доказательство аналогично).

Тогда lÇpn - прямая, а lÇpn-1 не является прямой. Если n=0, то все доказано, SÍp0. Предположим, что n>0. Тогда l возникла как прямая, соединяющая две () из pn-1, не принадлежащие в pn-1 одной прямой. Но в S уровень всех точек £n, а значит, они принадлежат pn, то есть l содержит не более двух таких точек. Полученное противоречие и доказывает наше предложение.

Пример: Недезаргова проективная плоскость.

Пусть p0 состоит из четырех точек и не содержит ни одной прямой, П- свободная проективная плоскость порожденная p0.

В качестве следствия из предыдущего предложения получаем, что П бесконечно; следовательно," прямая содержит бесконечно много точек. Значит можно выбрать четыре () О,А,В,С, " три из которых неколлинеарны, и затем А’на ОА, B' на ОВ, С’ на ОС так, что они образуют семь различных точек, причем A’,B’,C’ неколлинеарны. Тогда построим Р=АВÇА’В’, Q=ACÇA’C’, R=BCÇB’C’. Все 10 точек различны. Если теорема Дезарга была бы не верна на П, то P,Q,R принадлежали бы одной прямой, Þ 10 () и 10 прямых образовали бы ограниченную конфигурацию; но тогда она должна была бы содержаться в p0, а p0 содержит всего лишь четыре точки.

Построили геометрию, удовлетворяющую аксиомам П1-П4 и не удовлетворяющую П5, тем самым показали, что П5 не является следствием П1-П4.

3.5. Принцип двойственности

Займемся изучением свойств проективной плоскости, вытекающих из аксиом П1-П4.

Предложение: Пусть П - проективная плоскость, П*- множество прямых плоскости П; назовем еще пучок прямых плоскости П прямой из П*.(здесь П*- это множество элементов из П, называемых прямыми; пучком прямых называется совокупность всех прямых, проходящих через некоторую фиксированную точку- центр пучка). Тогда П* тоже является проективной плоскостью (назовем ее двойственной к П проективной плоскостью); при этом, если П удовлетворяет аксиоме П5, то и П* ей удовлетворяет.

Следствие (принцип двойственности).

Пусть S- некоторое утверждение, касающееся проективной плоскости П, которое может быть выведено из аксиом П1-П4 (соответственно П1-П5). Тогда "двойственное" утверждение S*, полученное из S заменой слов.

точка Û прямая

лежит на Û проходит через

коллинеарные Û сходящиеся

точка пересечения двух прямых Û прямая, соединяющая две точки

и т.д., тоже может быть выведено из аксиом П1-П4 (соответственно П1-П5).

Определение: Полным четырехугольником называется конфигурация, состоящая из семи точек и шести прямых, полученных следующим образом: рассмотрим четыре точки А,В,С,D (такие, что любые три из них неколлинеарны), шесть соединяющих их прямых и три новые точки пересечения этих прямых.

("противоположных сторон" полного четырехугольника) Р=АВÇСD, Q=АСÇВD, R=АDÇВС.

Точки Р, Q и R называются диагональными точками полного четырехугольника. Диагональные точки P,Q и R могут оказаться коллинеарными. Однако на действительной проективной плоскости этого быть не может. Мы убедимся в этом позже, пока будем рассматривать случай коллинеарности диагональных точек как исключительное явление и поэтому введем следующую аксиому П7 (аксиома Фано).

П7: Диагональные точки полного четырехугольника неколлинеарны.

Предложение: Действительная проективная плоскость удовлетворяет аксиоме П7.

Определение: Полным четырехсторонником называется конфигурация, состоящая из семи прямых и шести точек, полученных следующим образом: рассмотрим четыре прямые a, b, c, d (такие, что никакие три из них не являются сходящимися), шесть точек их пересечения и три новые прямые p,q,r.

Соединяющие пары противоположных вершин полного четырехсторонника прямые p, q, r называются диагоналями полного четырехсторонника.

Предложение: Из того, что П7 выполняется на П Þ, что П7* выполняется на П*; поэтому принцип двойственности применим также и к следствиям из П7.

Докажем П7*: П7* в терминах П означает: диагонали полного четырехсторонника не являются сходящимися (не принадлежат одному пучку). Пусть a, b, c, d- "стороны" полного четырехсторонника; предположим, что диагонали p, g, r- сходящиеся. Но в этом случае диагональные точки полного четырехугольника АВСD, где А=bÇd, B=cÇd, C=aÇb, D=aÇc коллинеарны, что противоречит П7. Значит утверждение П7* справедливо.

Заметим, что определение четырехсторонника двойственно определению полного четырехугольника.

3.6. Гармонические четверки точек.

Определение: Упорядоченная четверка различных коллинеарных точек А,В,С,D называется гармонической четверкой, если $ полный четырехугольник XYZW, такой, что А и В являются его диагональными точками (например А=XYÇZW, B=XZÇYW), а С и D принадлежат двум другим сторонам четырехугольника (например,CÎXW, DÎYZ).

Для гармонических точек А,В,С,D мы введем обозначение H (АВ, СD). Из того, что точки А,В,С,D образующие гармоническую четверку, различны, следует неколлинеарность диагональных

точек определяющего эту четверку четырехугольника XYZW. Вообще понятие гармонической четверки точек в значительной мере теряет смысл, если аксиома Фано не выполняется; поэтому, говоря о гармонической четверке точек, мы всегда будем предполагать выполняемость П7.

Предложение 1: Н(АВ,СD)-Н(BA,CD)-H(AB,DC)-H(BA,DC)

Доказательство: Это утверждение немедленно следует из определения гармонической четверки, так как А и В, С и D играют одинаковую роль в построении полного четырехугольника. Действительно, можно переставить буквы X,Y,Z,W,так, чтобы привести обозначение в соответствие с определением Н(ВА,СD) ч.т.д.

Предложение 2: Пусть А,В,С- три различные точки прямой. Тогда (если выполняется П7) $ точка D, такая, что Н(АВ,СD). Более того (если выполняется П5), можно утверждать, что подобная точка D единственная (D называется четвертой гармонической точкой для А,В,С или точкой, гармонически сопряженной к точке С по отношению к точкам А и В).

Предложение 3: Пусть А,В,С,D- гармоническая четверка точек. Тогда (если выполняется П5) C,D,A,B- тоже гармоническая четверка.

Объединяя это предложение с предложением 1, получаем:

H(AB,CD)ÛH(BA,CD)ÛH(AB,DC)ÛH(BA,DC)

H(CD,AB)ÛH(DC,AB)ÛH(CD,BA)ÛH(DC,BA)

Доказательство: Пусть Н(АВ,CD) и пусть XYZW- полный четырехугольник, с которым связано определение этой гармонической четверки.

Проведем DX и CZ и обозначим точку пересечения через U. Пусть, далее XWÇYZ=T. Тогда XTUZ- полный четырехугольник, а С и D- две его диагональные точки. Точка ВÎXZ, поэтому достаточно доказать, что TU проходит через А, так как в этом случае будем иметь H(CD,AB). Рассмотрим 2 треугольника XUZ и YTW. Пары их соответственных сторон пересекаются в точках D,B и С, но эти точки коллинеарны Þ по П5*,XY, TU, WZ соединяющие соответственные вершины принадлежат одному пучку.