Различные подходы к определению проективной плоскости (стр. 6 из 9)

Пример: На действительной евклидовой плоскости четыре точки А,В,С,D образуют гармоническую четверку тогда и только тогда, когда

(АС/ВС)*(ВD/AD)=-1

3.7. Перспективные и проективные отображения.

Определение: Проективное отображение- это отображение прямой l на l' (быть может, совпадающую с l), которое, может быть представлено как композиция перспективных отображений.

Обозначение: l – l’ или АВС…-А’В’С’…

Последняя запись означает, что проективное отображение переводит точки А,В,С,….соответственно в A',B',C',….

Проективное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками прямых l и l' и является отображением на l'.

Определение: Перспективным отображением прямой l на прямую l' (обе прямые рассматриваются как множество точек) с центром О (точка О не принадлежит ни l, ни l') называется отображение А®A', где для произвольной точки АÎl точка А' находится как ОАÇl'.

Обозначение l = l’ ("l переводится в l' перспективным отображением с центром в ()О". Отметим, что перспективное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками

l и l' и является отображением

l на l' и что отображение, обратное

перспективному отображению,

также является перспективным отображением. Если ()Х=lÇl', то Х (как точка l) переходит в Х (как точку l'). Композиция двух или более перспективных отображений уже не обязательно будет перспективным отображением: так мы имеем l = l’ = l’’ и ABCY = A’B’C’Y’ = A’’B’’C’’Y’’ если бы полученное в результате композиции отображений l = l и l = l отображение l на l'’ было перспективным, то в точку lÇl’'=Y оно должно было бы переводить в себя. Однако у переходит в точку Y'', которая не совпадает с Y. Поэтому мы ввели проективное отображение.

Предложение 1: Пусть, задана прямая l. Тогда множество проективных преобразований (взаимно однозначное отображение множества М на себя называется преобразованием множества М). l образует группу. Это означает, что 1)композиция двух проективных отображений снова есть проективное отображение. 2)отображение, обратное проективному отображению, снова есть проективное отображение.

Предложение 2: Пусть задана прямая l и пусть А,В,С и A',B',C'- две тройки ее различных точек. Тогда $ проективное преобразование l, переводящее А,В,С в A',B',C'.

Доказательство: Пусть l'- прямая отличная от l и не проходящая через А и А’, а О произвольная точка не принадлежащая ни l, ни l'. Спроектируем из О точки A',B',C' прямой l в точки A’’,B’’,C’’, прямой l’: A'B'C' = A''B''C'', где АÏl’ и А’’Ïl.

Ясно, что нам достаточно построить проективное отображение l на l’, переводящее A,B,C, в A’’,B’’,C’’.

Заменим в обозначениях двойные штрихи одинарными и забудем про исходные A’,B’,C’. Таким образом, наша задача свелась к следующей. Заданы две различные прямые l и l’. Пусть А,В,С- три различные точки l, а A’,B’,C’-три различные точки l’, предположим что AÏl’ и A’Ïl. Требуется построить проективное отображение l на l’, переводящее А,В,С соответственно в A’,B’,C’. Проведем прямые AA’,AB’,AC’,A’B,A’C и положим AB’ÇA’B=B’’, AC’ÇA’C=C’’. Обозначим прямую B’’C’’ через l’’; пусть она пересекает AA’ в A’’. Тогда l = l’’ = l’ переводит ABC = A’’B’’C’’ = A’B’C’.

Таким образом, мы построили искомое проективное отображение l на l’ как композиция двух перспективных отображений.

Предложение 3: Проективное отображение переводит гармоническую четверку точек в гармоническую четверку.

3.8. Аксиома Паппа и основная теорема о проективных преобразованиях прямой.

Докажем “основную теорему”, которая утверждает, что существует единственное проективное преобразование прямой, переводящее три заданные точки в любые другие три заданные точки. Эта теорема не следует из аксиом П1-П5 и П7; поэтому нам предстоит дополнительно ввести аксиому Паппа П6.

Основная теорема (теорема о проективных преобразованиях прямой). Пусть задана прямая l и А,В,С;A’,B’,C’- две тройки различных точек этой прямой. Тогда существует одно и только одно проективное преобразование l, такое, что АВС - A’B’C’.

П6 (аксиома Паппа). Пусть l и l’-две различные прямые, А,В,С- три различные точки прямой l, отличные от Х=lÇl’и А’,В’,С’- три различные точки прямой l’, отличные от Х. Тогда точки P=AB’ÇA’B, Q=AC’ÇA’C, R=BC’ÇB’C коллинеарны.

Предложение 1: Аксиома П6 влечет за собой двойственную аксиому Паппа П6*, то есть принцип двойственности применим и ко всем выводам из П6.

Предложение 2: На действительной проективной плоскости справедлива аксиома П6.

Лемма 1: Пусть l = m = n, где l¹n, предположим еще, что или:

а)прямые l, m, n принадлежат одному пучку, или

б)точки O,P и lÇn коллинеарны.

Тогда полученное проективное отображение l - n является перспективным (то есть $ такая точка Q, что перспективное отображение l = n совпадает с нашими проективными отображениями l - n).

Лемма 2: Пусть l = m = n,

Где l¹n; предположим теперь, что не имеет места ни а) ни б) из условий леммы 1. Тогда $ прямая m’ и точки O’În и P’Îl, такие, что l = m = n есть рассматриваемое проективное отображение l на n.

Доказательство: Пусть l, m, n, O,P заданы; пусть далее A,A’- две точки на l и AA’ = BB’ = CC’. Точку пересечения ОР и n обозначим через O’. Так как мы предположили, что точки О,Р, lÇn=X неколлинеарны, то O’¹X, то есть O’Ïl. Проведем O’A и O’A’; пусть они пересекаются РС и РС’ соответственно в D и D’.

Соответствующие стороны треугольников АBD и A’B’D’ пересекаются в коллинеарных точках O,P,O’; значит, по П5*, прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников принадлежат одному пучку. Таким образом, прямая m1, содержащая D и D’, проходит через точку Y=lÇm.

Следовательно, прямая m1 определена точками D и Y, и если точка A’ меняется, то D’ меняется, оставаясь на прямой m1. Поэтому исходное проективное отображение совпадает с отображением l = m1 = n.

Повторяя то же самое рассуждение еще раз, мы можем переместить Р в положение P’=OPÇl и найти новую прямую m’, такую, что l = m’= n дает исходное проективное отображение.

Лемма 3: Пусть l и l’- две различные прямые. Тогда любое проективное отображение l - l’ может быть получено как композиция двух перспективных отображений.

Теорема 1: Основная теорема вытекает из аксиом П1-П6.

Доказательство: Для заданной прямой l и двух троек различных точек А,В,С и A’,B’,C’ этой прямой мы должны найти проективное преобразование, переводящее одну тройку в другую, и доказать, что оно единственно. Выбираем прямую l’, не проходящую через заданные точки, и спроектируем A’,B’,C’ на l’. Обозначим образы этих точек теми же буквами A’,B’,C’. Таким образом мы свели теорему к следующей: имеем А,В,С на lA’,B’,C’ на l’ (все точки отличны от lÇl’) требуется показать, что $ единственное проективное отображение, такое, что ABC - A’B’C’. Одно такое проективное отображение мы уже получили в предложении 2 (п.3.7); следовательно, достаточно показать, что любое другое проективное отображение совпадает с этим.

Случай 1: Предположим, что второе проективное отображение есть просто перспективное отображение. Пусть l - l’ переводит ABC = A’B’C’. Рассмотрим P=AB’ÇA’B ; пусть прямая l’’ соединяет Р с Q. Мы утверждаем, что l’’ проходит через точку Х=lÇl’. Действительно, применим П5 к треугольникам AB’C’ и A’BC, которые перспективны с центром О. Их стороны пересекаются в точках Р,Q,Х соответственно. Следовательно, l’’ определяется точками Р и Х.

Но так как С может меняться, перспективное отображение l = l’ совпадает с проективным отображением l = l’’ = l’

Случай 2: предположим, что второе проективное отображение не является перспективным. Тогда в силу леммы 3 оно может быть представлено в виде композиции двух перспективных отображений, а в силу леммы 2 можно предположить, что центры этих отображений принадлежат соответственно l’ и l. Таким образом, мы приходим к конфигурации: l = l’’ = l’ и ABC = A’’B’’C’’ = A’B’C’