Самоаффинные фрактальные множества II. Размерности длины и поверхности (стр. 2 из 2)

Поступим следующим образом: разделим цилиндр по высоте на п слоев плоскостями z=р/п (р—целое число больше нуля) и выделим на окружностях с четным номером уровня точки

= (2q+1) /m (q—целое), а на окружностях с нечетным номером уровня — точки = 2q

/m. Соединим каждую точку (z, ) с точками (z 1/n, /m). Таким образом, боковая поверхность единичного цилиндра приближенно представлена 2mn равными треугольниками. Теперь, чтобы получить истинную площадь, кажется естественным сложить площади этих треугольников и затем произвольным образом независимо устремить n , m .

Прямое вычисление показывает, что для больших m эта площадь приближенно равна 2

sqrt( [1 + ( ⁴/4)n²/m⁴] ). Если т

, но n/m2

0, то это приближенное выражение действительно сходится к величине 2

. Однако, если т

и п = m² (

= const > 0), мы получим произвольное конечное значение, превышающее 2

! И мы можем сказать, кроме того, что, выбирая п ~ m , > 2, можно добиться, чтобы приближенное значение площади возрастало как произвольная степень либо 1/т, либо 1/п, либо площади треугольника, пропорциональной 1/тп. Цилиндр оказывается похожим на фрактал! Его площадь неограниченно возрастает при таком способе измерения.

Причиной такого поведения является следующее обстоятельство: при переходе к пределу т/п

мы используем треугольники, которые а) становятся все более и более узкими, т. е. имеют хотя бы один угол, стремящийся к нулю, и б) лежат в плоскостях, стремящихся стать перпендикулярно боковой поверхности цилиндра. При этом возникающая поверхность становится все более и более «волнистой» и все больше удаляется от истинной поверхности.

Реакция прагматика была бы следующей — избегать узких треугольников. Ответ математика: «парадокс площадей Шварца» относился к числу проблем, способствовавших .развитию современной математики. В частности, этот парадокс стимулировал Минковского дать корректные определения длины и площади через объемы все более тонких «сосисок» Минковского для кривых и все более тонких «шарфов» Минковского для поверхностей. Эти множества состоят из всех точек внутри

-окрестности некоторой точки кривой или поверхности. Так, Минковский определяет площадь обычной поверхности как

lim (1/2

) x (объем

-шарфа).

0

В отличие от треугольников все интервалы подобны друг другу, и поэтому для обычной кривой в плоскости аналога парадокса Шварца не существует. Его не существует также и для самоподобных фрактальных кривых; действительно, в [2] отмечено, что измерения длины с переменной точностью е могут быть проведены многими различными путями, но во всех случаях длина меняется по одному и тому же закону: пропорционально е¹-⁰. Но для самоаффинных кривых, как показано в разд. 2.1—2.3, ситуация более сложная. Здесь длина растет как

^1-D, но D = D_BL при подходе Минковского и D = D_CL > D_BL при использовании измерительного циркуля. Может ли размерность D принимать значения, отличающиеся от этих двух величин?

5. Измерение площади самоаффинных фрактальных поверхностей, полученных из графиков функций

5.1. Площадь фрактального рельефа В_H (х, у), найденная с помощью «шарфа» Минковского

Мы возвращаемся к размерностям D_BL и D_BG.

5.2. Определение площади фрактального рельефа с помощью триангуляции

Выберем квадратные плитки с

х=

у = 1/b. Четыре вершины каждой плитки определяют четыре значения В_H и дают два способа аппроксимации небольшой части поверхности двумя «треугольниками-близнецами». Возьмем среднее из этих двух приближений для каждой ячейки и, кроме того, проведем усреднение по b² ячейкам.

Грубая триангуляция. Если пренебречь деталями с размерами, меньшими чем критическое значение x_c = у_с, то в этом приближении моя броуновская модель рельефа Земли имеет

вполне определенную площадь, ненамного превышающую площадь проекции рельефа на идеализированную плоскость (или сферу).

Эта ситуация резко отличается от той, которая имела место для береговой линии.

Рассмотрим в качестве примера два негауссовских ландшафта (см. [2], вклейка С 13). Они получены из одного и того же гауссовского ландшафта с помощью нелинейных преобразований, в которых предполагалось, что величина t_c очень мала для долины на верхнем рисунке С 13 и для плато на нижнем рисунке С 13, и в то же время величина t_c очень велика для горной цепи на верхнем рисунке С 13 и в каньоне на нижнем рисунке. Далее, я уже указывал в своих лекциях, что хорошие взлетные полосы аэропортов неровны в той же степени, что и Гималаи, только их вертикальный масштаб значительно меньше. Теперь мы видим, что эти количественные различия приводят к качественным эффектам. Прежде всего, как подсказывают обычные наблюдения и здравый смысл, у аэропорта имеется вполне определенная площадь, даже при измерении самой точной линейкой. В Гималаях же обычные фотографии, снятые издалека, показывают, что «средний наклон» порядка

/4. Это в свою очередь показывает, что в области переходного масштаба имеется ряд интересных деталей; поэтому различные измерения площади, полученные с различными линейками, меньшими чем t_c, должны дать кривую, график которой в двойном логарифмическом масштабе будет заведомо отличаться от прямой.

Тонкая триангуляция. В этом случае площадь наверняка может быть произвольно большой, но как быстро она будет расти с уменьшением размера треугольников? Каждый из треугольников-близнецов в ячейке имеет длину ~ b^-Hk и высоту ~b^-k, он очень узкий, и его площадь ~b^-(H+1)k. Полное число треугольников b^2k =

^-2/(H+1) и приближенное значение площади ( ) ~ ^1-2/(H+1). Это соотношение аналогично выражению для длины кривой L( ) ~ ^1-1-H, но здесь аномальная размерность равна 2/(H+1), а не 1/H.

Следующая сетка, которую мы рассмотрим, самоаффинна и включает (b'b'')^k прямоугольников шириной b' ^-k я высотой b" ^-k, причем b' > b". Площадь каждого из треугольников теперь ~ ((b")^-1(b')^1-H)^k, а аномальная размерность равна log(b'b")/log(b"b'^H). Она может принимать значение между 2/(H+1) и 1/H,и это есть фрактальная форма парадокса площадей Шварца.