Идея квантования и модель атома водорода по Бору. В 1913 г. Бор предложил теорию атома водорода. Эта теория возникла как результат “слияния” планетарной модели атома Резерфорда, комбинационного принципа Ритца и идеи квантования энергии Планка.
Согласно теории Бора, существуют состояния, находясь в которых атом не излучает (стационарные состояния) ; энергия этих состояний образует дискретный спектр: Е1, Е2,..., Еn,... Атом излучает (поглощает) , переходя из одного стационарного состояния в другое; излучаемая (поглощаемая) энергия есть разность энергий соответствующих стационарных состояний. Так, при переходе из состояния с энергией Еn в состояние с меньшей энергией Еk испускается квант излучения с энергией (Еn - Еk) , при этом в спектре атома появляется линия с частотой ω = (Еn - Еk) / h.
Это формула отражает знаменитое правило частот Бора.
В теории Бора n-му стационарному состоянию атома водорода соответствует круговая орбита радиуса rn, по которой электрон движется вокруг ядра. Для вычисления rn Бор предложил воспользоваться, во-первых, вторым законом Ньютона для заряда, движущегося по окружности под действием кулоновской силы: mvn2 / rn = е2 / rn2
(здесь m и e – масса и заряд электрона, vn – скорость электрона на n-й орбите) , и, во-вторых, условием квантования момента импульса электрона mvnrn = nh.
Используя эти соотношения, легко найти rn и vn: rn = h2n2 / me2, vn = e2 / hn.
Энергия Еn стационарного состояния состоит из кинетического (Тn) и потенциального (Un) слагаемых: Еn = Тn + Un. Полагая, что Тn = mvn2 /2, Un = = - е2 / rn и используя последние формулы, находим Еn = - me4 / 2h2n2.
Отрицательность энергии означает, что электрон находится в связанном состоянии (за нуль принимается энергия свободного электрона) .
Подставив полученный результат в правило частот и сопоставив полученное при этом выражение с формулой ωn = 2πcR(1/k2 - 1/n2) , можно, следуя Бору, найти выражение для постоянной Ридберга: R = me4 / 4πch3.
Теория Бора (или, как теперь принято говорить, “старая квантовая теория” ) страдала внутренними противоречиями; так, для определения радиуса орбиты приходилось пользоваться соотношениями совершенно разной природы – “классической” и “квантовой” . Тем не менее эта теория имела большое значение как первый шаг в создании последовательной квантовой теории. При этом впервые удалось объяснить природу спектральных термов (а следовательно, и комбинационного принципа Ритца) и получить расчетное значение постоянной Ридберга, которая соответствовала своему эмпирическому значению. Успехи теории говорили о плодотворности идеи квантования. Познакомившись с расчетами Бора, Зоммерфельд написал ему письмо, где в частности писал: “Благодарю Вас за Вашу чрезвычайно интересную работу. Меня давно занимает проблема выражения постоянной Ридберга при помощи величины Планка. Хотя в данный момент я еще скептически отношусь к моделям атомов в целом, тем не менее вычисление этой постоянной, бесспорно, является настоящим подвигом.”
О квантовании момента импульса. Заметим, что в отличие от энергии момент импульса микрообъекта квантуется всегда. Так, наблюдаемые значения квадрата момента импульса микрообъекта выражаются формулой M2 = h2l (l + 1) , где l – целые числа 0,1,2,... Если речь о моменте импульса электрона в атоме в n-м стационарном состоянии, то число l принимает значения от нуля до n-1.
В литературе принято называть момент импульса микрообъекта для краткости просто моментом.
Проекция момента микрообъекта на некоторое направление (обозначим его как z-направление) принимает значения Mz = hm, где m=-l, -l+1,..., l-1, l. При данном значении числа l число m принимает 2l+1 дискретных значений. Подчеркнем, что различные проекции момента микрообъекта на одно и тоже направление всегда отличаются друг от друга на величины, кратные постоянной Планка.
Выше уже отмечалось, что спин есть своеобразный, “внутренний” момент микрообъекта, имеющий для данного микрообъекта определенную величину. В отличие от спинового момента, обычный момент принято называть орбитальным. Кинематически спиновой момент аналогичен орбитальному; естественно, что для нахождения возможных проекций спинового момента надо пользоваться формулой типа Mz = hm (как и в случае орбитального момента, проекции спинового момента отличаются друг от друга на величины, кратные постоянной Планка) . Если s – спин микрообъекта, то проекция спинового момента принимает значение hσ, где σ = -s, -s+1,..., s-1, s. Так, проекция спина электрона принимает значения -h/2 и h/2.
Рассматриваемые здесь числа n, l, m, σ, фиксирующие различные дискретные значения квантующихся динамических переменных (в данном случае энергии и момента) , принято называть квантовыми числами. Конкретно: n – так называемое главное квантовое число, l – орбитальное квантовое число, m – магнитное квантовое число, σ – спиновое квантовое число. Существуют и другие квантовые числа.
Противоречия квантовых переходов. Несмотря на большой успех теории Бора, идея квантования порождала первоначально серьезные сомнения; было подмечено, что эта идея внутренне противоречива. Так, в письме к Бору Резерфорд писал (в 1913 г.) : “Ваши мысли относительно причин возникновения спектра водорода очень остроумны и представляются хорошо продуманными. Однако сочетание идей Планка со старой механикой создает значительные трудности для понимания того, что же все-таки является основой такого рассмотрения. Я обнаружил серьезное затруднение в связи с Вашей гипотезой, в котором Вы, без сомнения, полностью отдаете себе отчет. Оно состоит в следующем: как может электрон знать, с какой частотой он должен колебаться, переходя из одного стационарного состояние в другое? Мне кажется, что Вы вынуждены предположить, что электрон знает заблаговременно, где он собирается остановится” .
Поясним отмеченную Резерфордом трудность. Пусть электрон находится на уровне Е1 (рис. 1) ; чтобы перейти на уровень Е2, электрон должен поглотить квант излучения (т.е. фотон) с определенной энергией, равной Е2-Е1. Поглощение фотона с любой другой энергией не может приводить к указанному переходу и по этой причине оказывается невозможным (для простоты рассматриваем только два уровня) . Возникает вопрос: каким же образом электрон производит “выбор” “нужного” фотона из падающего потока фотона разной энергии? Ведь, чтобы “выбрать” “нужный” фотон, электрон должен уже “знать” о втором уровне, т.е. должен как бы уже побывать на нем. Однако, чтобы побывать на втором уровне, электрон должен сначала поглотить “нужный” фотон. Возникает замкнутый круг.
Дополнительные противоречие обнаруживаются при рассмотрении скачка электрона с одной орбиты в атоме на другую. Сколь бы ни был быстр переход электрона с орбиты одного радиуса на орбиту другого радиуса, в любом случае он должен происходить в течении конечного промежутка времени. Но тогда непонятно, чему должна равняться энергия электрона в течении этого промежутка времени – ведь электрон уже не находится на орбите, которая отвечает энергии Е1, и в то же время еще не прибыл на орбиту, которая отвечает энергии Е2.
Неудивительно, что в свое время предпринимались попытки получить объяснение экспериментальных результатов без привлечения идеи квантования. В этом смысле показательно известное замечание Шредингера, вырвавшееся у него, что называется, под горячую руку: “Если мы собираемся сохранить эти проклятые квантовые скачки, то я жалею, что вообще имел дело с квантовой теорией!” Однако опыт свидетельствовал в пользу квантования; ни для какой альтернативы не оставалось места.
В подобной ситуации есть один выход: надо ввести какие-то новые идеи, которые вместе с идеей дискретности образовывали бы непротиворечивую схему. Такой новой физической идеей и явилась идея корпускулярно-волнового дуализма.
Идея корпускулярно-волнового дуализма. Классическая физика знакомит с двумя видами движения – корпускулярным и волновым. Для первого характерны локализация объекта в пространстве и существование определенной траектории его движения. Для второго характерно, напротив, делокализация в пространстве; с волновым движением не сопоставляет никакого локализованного объекта – это есть движение некоей среды. На уровне макроявлений корпускулярное и волновое движение четко разграничены; одно дело – движение брошенного камня, другое – движение волны, набегающей на прибрежный песок.
Эти привычные представления не могут быть перенесены в квантовую механику. На уровне микроявлений указанное выше четкое разграничение между двумя видами движения в существенной мере стирается – движение микрообъекта характеризуется одновременно и волновыми и корпускулярными свойствами. Если схематически рассматривать классические корпускулы и классические волны как два предельных случая описания движения материи, то микрообъекты должны занять в этой схеме место где-то посередине. Они не являются ни “чистыми” (в классическом понимании) корпускулами, ни “чистыми” волнами – они являются чем-то качественно иным. Можно сказать, что микрообъект в какой-то мере похож на корпускулу, в какой-то мере – на волну, причем эта мера зависит, в частности, от условий, в которых рассматривается микрообъект. Если в классической физике корпускула и волна – две взаимоисключающие друг друга противоположности (либо частица, либо волна) , то теперь, на уровне микроявлений, эти противоположности объединяются в рамках единого микрообъекта. Это обстоятельство и принято называть корпускулярно-волновым дуализмом (“дуализм” означает двойственность) .
Первоначально идея дуализма была применена к электромагнитному излучению. Еще в 1917г. Эйнштейн предложил рассматривать введенные Планком кванты излучения как своеобразные частицы, обладающие не только определенной энергией, но и определенным импульсом: E = hω, p = hω / c.