Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора (стр. 3 из 8)

Рассмотрим насколько примеров резольвент операторов.

Пример 1: Возьмём оператор, переводящий конечномерное пространство в конечномерное, как было сказано выше, его можно задать матрицей коэффициентов:

, тогда

С помощью нехитрых преобразований находим обратную матрицу, тем самым резольвенту этого оператора:

,

здесь хорошо видно, что оператор, заданный этой матрицей не существует при

=1, то есть это собственное значение оператора А.

Пример 2: Рассмотрим линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций на отрезке [a,b] на себя. Пусть это будет оператор умножения на функцию g(x). Тогда резольвента этого оператора запишется в следующем виде:

, такой оператор непрерывен, если функция g(x) не принимает значение на отрезке [a,b], в противном случае будет являться собственным значением. То есть спектр этого оператора состоит из значений функции g(x) на отрезке [a,b]. Причём этот оператор имеет лишь непрерывный спектр, так как резольвента при существует, но не непрерывна. Точечного спектра оператор не имеет.

Пример 3: Рассмотрим оператор дифференцирования на множестве дифференцируемых функций. А:

(для краткости будем писать вместо f(x) просто f). Рассмотрим резольвенту этого оператора: , то есть мы должны найти обратный оператор к оператору: , для чего надо решить дифференциальное уравнение относительно . Решим уравнение методом Бернулли:

;

;

; ; ; ; , откуда ,

тогда

. Видно, что резольвента существует и непрерывна, когда существует и непрерывен интеграл.

Резольвентное множество. Спектр

Пусть А – оператор, действующий в В-пространстве. Если

регулярна, т.е. оператор существует и ограничен, то при достаточно малом оператор тоже существует и ограничен, т.е. точка + тоже регулярна. Таким образом, регулярные точки образуют открытое множество. Докажем это.

Теорема: Резольвентное множество

открыто, функция резолвента аналитична в этой области.

Доказательство:

Пусть

- фиксированная точка в и - любое комплексное число, такое, что . Покажем, что . Оператор должен иметь обратный, если . Этот обратный оператор, если он существует, будет выглядеть так:

.

Рассмотрим эту дробь как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, тогда она представима в виде ряда

.

Мы предполагали, что

, то , следовательно, этот ряд сходится. Покажем, то это резольвента :

,

отсюда и следует, что

и что = аналитична в точке

Доказано.

Следовательно, спектр, т.е. дополнение этого множества – замкнутое множество, и резольвента аналитична на бесконечности.

Следствие: Если

равно расстоянию от до спектра , то

, .

Таким образом,

при и резольвентное множество есть естественная область аналитичности .

Доказательство:

В доказательстве предыдущей теоремы мы видели, что если

, то . Следовательно, , от куда и следует доказываемое утверждение.

Доказано.

Резольвента как функция от

А сейчас рассмотрим резольвенту как функцию от

и докажем несколько утверждений о её свойствах и особенностях. Для доказательства следующего утверждения нам понадобится следующая теорема.

Теорема 5: Пусть Е – банахово пространство, I – тождественный оператор в Е, а А – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что

. Тогда оператор существует, ограничен и представляется в виде

.

Доказательство:

Так как

<1, то .Пространство Е полно, так что из сходимости ряда вытекает, что сумма ряда представляет собой ограниченный линейный оператор. Для любого n имеем