Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора (стр. 4 из 8)
;переходя к пределу при
и учитывая, что 
, получаем 
,что и означает, что
.Доказано.
Теорема 7. Если А – ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве и
> 
, то 
– регулярная точка.Доказательство:
Так как, очевидно, что
,то
При
< 
этот ряд сходится (см. теорему 5), т.е. оператор 
имеет ограниченный обратный. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса с центром в нуле.Доказано.
Из выше доказанной теоремы вытекает разложение резольвенты в ряд Лорана на бесконечности
При
< этот ряд сходится. Но – это наименьшее из чисел С, удовлетворяющих неравенству: 
Аf=Cf, если С – собственное значение, то и
, то для наибольшего по модулю из собственных значений неравенство будет иметь место, с другой стороны, это число будет наименьшим. Следовательно, ряд 
будет сходиться при < 
(А), где (А) – наибольший модуль собственных значений оператора А. Величина (А) называется спектральным радиусом оператора А.Теорема 8:
(А)= 
.Для доказательства воспользуемся теоремой Коши-Адамара, сформулируем её. Теорема Коши-Адамара: Положим
, 
. Рассмотрим степенной ряд 
. Тогда он сходится всюду в круге 
и расходится всюду вне этого круга.Доказательство:
Рассмотрим разложение резольвенты в ряд Лорана как степенной ряд:
.По теореме Коши-Адамара его радиус сходимости равен числу
, но с другой стороны радиус сходимости ряда Лорана резольвенты есть спектральный радиус.Доказано.
Уравнение Гильберта:
.Доказательство:
Возьмем
. Учитывая, что 
, получаем следующее: 
, что и требовалось доказать.Доказано.
Следствие из уравнения Гильберта:
.Доказательство:
Оно вытекает из уравнения Гильберта: действительно, возьмём
, тогда получим по уравнению Гильберта, что произведение 
равно отношению приращения функции к приращению аргумента, то есть 
, перейдя к пределу при 
получаем нужное равенство.Доказано.
Теорема 9:
.Доказательство:
Докажем это равенство методом математической индукции, опираясь на предыдущее утверждение:
если k=1, то получаем следствие из уравнения Гильберта
.Пусть для k=n равенство выполнено, то есть
.Докажем, что для k=n+1, оно тоже имеет место:
Получили, что если равенство выполняется для n, то оно выполняется и для n+1, то по аксиоме индукции оно выполняется и для всех натуральных чисел, что и требовалось доказать.
Доказано.
Таким образом, мы получили, что резольвента – функция бесконечно дифференцируемая.
Теорема 10: Зная все производные резольвенты, мы можем разложить её в ряд Тейлора в окрестности точки
: 
.Напомним формулу разложения функции в ряд Тейлора:
, подставляя в эту формулу соответствующие элементы резольвенты, получаем нужное равенство.Введение в нестандартный анализ
Один из наиболее принципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что бесконечно малые рассматриваются не как переменные величины, а как величины постоянные. Достаточно раскрыть любой учебник физики, чтобы натолкнуться на бесконечно малые приращения, бесконечно малые объёмы и т. п. Все эти величины мыслятся, разумеется, не как переменные, а просто как очень маленькие, почти равные нулю.
Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое число следует называть бесконечно малым? Предположим, что это положительное число
, если оно меньше всех положительных чисел. Легко понять, что такого не бывает: если больше нуля, то оно является одним из положительных чисел, поэтому наше определение требует, чтобы число 
было меньше самого себя. Поэтому потребуем, чтобы было наименьшим в множестве положительных чисел. На числовой оси такое должно изобразиться самой левой точкой множества 
. К сожалению числа с указанными свойствами тоже нет и быть не может: число 
будет положительным числом, меньшим 
.Более точное определение бесконечной малости числа
>0 
, которое мы будем использовать в дальнейшем таково. Будем складывать число с самим собой, получая числа 
+ 
и т. д. Если все полученные числа окажутся меньше 1, то число и будет называться бесконечно малым. Другими словами, если бесконечно мало, то сколько раз не откладывай отрезок длины вдоль отрезка длины 1, до конца не дойдёшь. Наше требование к бесконечно малому можно переписать в такой форме