Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора (стр. 6 из 8)

Что ещё нужно знать о бесконечно малых?

Рассмотрим, что получается в результате построения поля гипердействительных чисел.

Прежде всего, мы получаем неархимедово расширение поля действительных чисел. Кроме того, “каждому объекту стандартного мира” поставлен в соответствие его аналог в “нестандартном мире”. Именно нестандартным аналогом любого действительного числа является оно само; любому подмножеству А множества R соответствует подмножество *А множества *R, каждой функции f из R в R соответствует функция *f из *R в *R, каждой двуместной функции g из R в R соответствует функция *g из *R в *R и т. д. Разумеется, эти аналоги *A, *f, *g не произвольны, а должны обладать некоторыми специальными свойствами: так, *А

, на действительных числах f и *f совпадают, так что *f является продолжением для f, а *g – продолжением для g. При этом оказывается выполненным так называемый принцип переноса, утверждающий, грубо говоря, что в стандартном универсуме истинны те же утверждения формального языка, что и в нестандартном универсуме. Типичное использование состоит в том, что мы доказываем желаемый результат в нестандартном универсуме, а потом, заметив, что результат выразим в языке, заключаем, что он выполнен также в стандартном универсуме.

Приведем два примера “нестандартных определений” стандартных понятий. Пусть

– последовательность действительных чисел, или, другими словами, функция из N в R. Её нестандартный аналог представляет собой функцию из *N в *R; значение этой функции на гипернатуральном числе m естественно обозначать .

Определение предела. Стандартное число

называется пределом последовательности , если все бесконечно далекие члены этой последовательности бесконечно близки к , т.е. для всякого нестандартного гипернатурального числа разность бесконечно мала.

Определение предельной точки. Стандартное число

называется предельной точкой последовательности , если некоторые бесконечно далёкие члены последовательности бесконечно близки к , т.е. существует такое нестандартное гипернатуральное число , что разность бесконечно мала.

А теперь докажем эквивалентность «нестандартного» определения предела последовательности «стандартному», пользуясь принципом переноса:

Доказательство:

Пусть , что обозначает

Применим к этому утверждению принцип переноса, получим:

Но бесконечно большие номера будут удовлетворять этому условию при

, поэтому для бесконечных данное неравенство выполнится при , что и означает .

Пусть выполнено условие данного утверждения. Возьмём , то . По принципу переноса такое же утверждение верно и в стандартном универсуме, это и означает, что .

Доказано.

Рассмотрим ещё один пример: доказательство равномерной непрерывности функции на отрезке: функция f равномерно непрерывна на отрезке

тогда и только тогда, когда

Доказательство:

Пусть f равномерно непрерывна на отрезке . Тогда для любого можно найти , такое , что

.

По принципу переноса получается, что

влечёт . Если на самом деле , то заведомо и, следовательно, . Так как было произвольное положительное действительное число, то .

Пусть , как только и . Тогда для любого получаем, выбирая в качестве произвольное положительное бесконечное малое,

Используя принцип переноса, получаем стандартное описание равномерной непрерывности.

Доказано.

Рассмотрим доказательство 1ой теоремы Вейерштрасса «нестандартными средствами»: функция, непрерывная на отрезке, является на нём ограниченной.

Доказательство:

Так как функция f непрерывна, то

, то есть , то , значит, представляет собой конечное число, при этом отрезок обладает таким свойством: в его расширении любая точка будет бесконечно близкой к некоторой точке самого отрезка. Отсюда все значения функции на расширении отрезка конечны, что означает, что функция ограничена.

Это не верно для интервала, так как в

существуют точки , где , которые бесконечно близки к точке а, которая не входит в интервал.

Доказано.

Что же такое гипердействительное число?

Гипердействительные числа можно рассматривать как классы последовательностей обыкновенных действительных чисел. Рассмотрим способ построения классов. Его определение будет использовать так называемый нетривиальный ультрафильтр на множестве натуральных чисел. Объясним, что это такое.

Пусть некоторые множества натуральных чисел называются “большими”, а некоторые – “малыми”, причем выполнены следующие свойства:

Любое множество натуральных чисел является либо большим, либо малым. Ни одно множество не является большим и малым одновременно.

Дополнение (до N) любого малого множества является большим, дополнение любого большого множества – малым.

Любое подмножество малого множества является малым, любое надмножество большого – большим.

Объединение двух малых множеств является малым, пересечение дух больших множеств – большим.

Всякое конечное множество является малым, всякое множество, имеющее конечное дополнение – большим.

С помощью такого ультрафильтра построим искомое неархимедово расширение поля действительных чисел.