Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора (стр. 7 из 8)
Будем говорить, что последовательности
эквивалентны, если равенство 
“выполнено почти при всех i“, т.е. Если множество тех i, при которых 
, большое. Согласно свойству 5 любые последовательности, отличающиеся в конечном числе членов, эквивалентны. С каждой последовательностью сопоставим ее класс эквивалентности – класс всех эквивалентных ей последовательностей. Получающиеся классы эквивалентности будут называться гипердействительными числами. Обыкновенные действительные числа вкладываются в множество гипердействительных чисел. Таким образом, *R оказывается, как мы того и хотели, расширением множества R.Определим сложение и умножение на гипердействительных числах. Пусть класс
содержит последовательность 
, класс 
– последовательность 
. Назовем суммой классов 
и класс, содержащий последовательность 
,а произведением последовательность 
. Корректность этих определений обеспечивается свойством 4 из определения ультрафильтра.Итак, мы ввели на множестве гипердействительных чисел сложение, умножение и порядок. Нетрудно проверить, что мы получили упорядоченное поле, т.е. что во множестве гипердействительных чисел выполняются все обычные свойства сложения, умножения и порядка. Аксиома Архимеда, однако, в этом поле не выполняется.
А теперь посмотрим, как ведут себя расширения операторов.
Теорема 1:
Доказательство:
Пусть 
. Это внутреннее множество. Внутренне числовое множество имеет супремум. Пусть 
. Если М – конечен, то А – ограничен. Если М – бесконечен, то 
такой, что 
, но 
, то есть 
– бесконечна. Рассмотрим 
, но, с другой стороны, 
. Получили противоречие, если предположить, что норма бесконечна. Значит оператор А ограничен.Доказано.
Теорема 2:
Доказательство:
Пусть есть операторы А и А1 такие, что
.Воспользуемся теоремой:
Если оператор
и обратим, а так же есть оператор В такой, что 
, то А1 – обратим, причём 
.Поскольку данные операторы бесконечно близки, то норма их разности есть число бесконечно малое. А норма оператора А – конечна, а бесконечно малое число, естественно, меньше числа, обратного конечному, что гарантирует выполнение неравенства
. Поэтому оператор В тоже обратим. Оценим норму 
, воспользуемся вторым неравенством: 
– конечна, 
, от сюда 
, то 
. Так как мы поняли, что оператор А1 обратим, то это неравенство можно записать по-другому: 
, от куда получим 
. Имеем одновременное выполнение двух неравенств: и 
, то есть 
, откуда 
. Что и требовалось доказать.Доказано.
Определение резольвенты в этом поле такое же, как и в стандартном. Но есть некоторое расхождение в определении спектра и собственного вектора.
Спектром линейного оператора в
называется множество: 
.Здесь пользуются определением не собственного вектора, а почти собственного вектора:
Когда оператор
существует, но этот оператор не ограничен, и уравнение 
имеет ненулевое решение, тогда вектор х мы будем называть почти собственным вектором. А число 
является элементом непрерывного спектра. Выше мы рассматривали пример линейного оператора, отображающий пространство непрерывных функций на отрезке [a,b] на себя: оператор умножения на функцию g(x). Возьмём в качестве функции 
, тогда резолвента этого оператора запишется в следующем виде 
, тогда непрерывным спектром будет являться сам отрезок 
. 
Рассмотрим функции вида (Рис. 1): 
, а 
. Такие функции будут непрерывны на отрезке 
. Покажем это. Для этого надо показать, что 
. В пространстве 
норма такая же, как и в его стандартном аналоге. Интеграл по принципу переноса считается аналогично. 
.
– ограничен, то ограничен и оператор 
, то по теореме 1 выполняется 
. А поскольку он ещё и обратим, то выполняется 
, так как 
означает, что оператор 
.