Спектр оператора. Применение нестандартного анализа для исследования резольвенты и спектра оператора (стр. 8 из 8)

Доказано.

Теорема 4:

Доказательство:

Пусть есть число , то – ограничен, а по теореме 3 при этом выполняется условие , поскольку речь идёт о линейных операторах, то можно записать: , а следовательно, , от куда , то есть условие при .

Пусть есть некоторое число для оператора , такое, что , но , то условие можно переписать так:

.

Проведём доказательство методом от противного. Предположим, что число

, для которого выполняется это условие, принадлежит спектру, но тогда по определению спектра резольвента оператора является неограниченным оператором, а по теореме 1 не выполнится условие , то есть , где , имеем, с одной стороны,

,

а, с другой,

,

получили противоречие. Значит

.

Доказано.

Список литературы

М. Девис. Прикладной нестандартный анализ – Москва: Изд-во Мир, 1980 год.

А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.

Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. Линейные операторы.

И.М. Глазман, Ю.И. Любич. Конечномерный линейный анализ.

В.А. Успенский. Что такое нестандартный анализ? –

Москва: изд-во «Наука», 1987