Трионы: три тела в двух измерениях (стр. 3 из 3)
Пример такой функции приведён в работе [11]:
ψ(r1,r2)=[ехр(-ar1-br2)+ехр(-br1-ar2)](1+cR)exp(-sR)/(1+d(R-R0)2), (2)
где, в дополнение к определенным выше величинам a, b и с, введены подгоночные параметры d и R0, которые учитывают возможные малые колебания с характерной амплитудой 1/√d возле равновесного расстояния
 |
| Рис 2. Энергия связи X+(красный) и X-(синий) трионов в зависимости от отношения эффективных, масс электрона и дырки. Энергия нормирована на энергию связи экситона |
R0 и параметр s для оптимизации функции триона при больших расстояниях между одинаковыми частицами.
Выбор множителя функции (2), 1+d(R-R0)2, отвечающего за продольные колебания комплекса, несложно обосновать. Заметим, что в случае, если связь между двумя одинаковыми частицами триона можно описать параболическим потенциалом, то волновая функция (2) должна зависеть от R (расстояния между этими двумя частицами) по Гауссу:
ψ(R)~ехр(-d(R-R0)2).
Но это приближение справедливо лишь для очень малых колебаний дырок комплекса X+ и только в пределе молекулы H2+ (при очень малых σ). Реально потенциал, связывающий две одинаковые частицы в трионе, на больших расстояниях гораздо слабее параболического, и гауссовское приближение волновой функции триона приведет к гораздо более быстрому ее убыванию с расстоянием, чем это есть в действительности. Поэтому выбрана более слабая зависимость:
ψ(R)~1/(1+d(R-R0)2),
которая неплохо даёт первое приближение колебаний триона вблизи R=R0, а поведение функции ψ(R) на бесконечности было задано более слабым, чем гауссовская функция, множителем exp(-sR).
Зависимость энергии связи триона от отношения масс, полученная с помощью функции (2), приведена на рис.2. Несмотря на простоту подгоночной волновой функции, мы получили эту зависимость с хорошей точностью: энергия связи триона при любом отношении масс составляет более 95% от ее точного значения, которое известно из более серьезных расчетов [7,9] с использованием большого числа вариационных параметров.
Обратим также внимание на то, что энергия связи триона (нормированная на энергию связи экситона) практически одинакова для X- (≈0.12) и не зависит от отношения масс электрона и дырки; в то время как для X+ она растет по мере приближения к H2+, причем основной рост приходится на область σ < 0.1. На этом участке энергия связи триона возрастает с 0.22 (при σ = 0.1) до 0.41 (при σ = 0) - почти в два раза. А при σ = 0 производная энергии по отношению масс даже имеет корневую особенность. Это, как уже упоминалось, связано с исчезновением колебательной степени, свободы в X+ трионах при малых отношениях масс [11].
4. Заключение
Мы показали, что, для того, чтобы найти энергию X- и X+ трионов при любом отношении масс с хорошей точностью, достаточно учесть вклад пяти факторов: кулоновского притяжения двух электронов к дырке (будем говорить в терминах X-), экранирования дальнего электрона ближним, обменного взаимодействия между электронами, поляризации экситона дальним электроном и продольных колебаний двух электронов друг относительно друга. Как оказалось, несложная вариационная функция, построенная из таких соображений, позволяет вычислить энергию связи X- и X+ трионов с хорошей точностью во всем диапазоне отношений масс электрона и дырки.
[1]* Имеется в виду размерность k-пространства, то есть число независимых направлений, в которых движение частицы с данной энергией не квантовано.
Список литературы
[1] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. 3, Квантовая механика, (М: Наука, 1963), §45.
[2] М. A. Lampert, Phys. Rev. Lett. 1, 12, 450 (1958).
[3] Kheng, R. Т. Cox, Y. M. d'Aubigne, F. Bassani, K. Saminadayar, S. Tatarenko, Phys. Rev. Lett. 71, //, 1752(1993).
[4] H. A. Bethe, E. E. Salpeter, Quantum mechanics of one- and two- electron atoms. (Springer, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1957).
[5] H. A. Bethe, Z. Phys. 57, 815 (1929).
[6] E. A. Hylleraas, Z. Phys. 54, 347 (1929).
[7] B. Stebe, A. Ainane, Superlatt. Microstruct. 5, 4, 545(1989).
[8] Y. К. Но, Phys. Rev. A 48, 6, 4780 (1993).
[9] J. Usukura, Y. Suzuki, K. Varga, Phys. Rev. В 59, 9, 5652(1999).
[10] S. Chandrasekhar, Astrophys. J. 100, 176 (1944). 1 l.P. А. Сергеев, Р. А. Сурис, ФТТ43, 4, 714 (2001). (см. также диплом Р. А. Сергеева, С-Петербург, СПбГТУ, каф. ФТТ, 2000)
Р.А.Сергеев, Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе Российской Академии Наук