Сравним коэффициенты при
слева и справа, найдем , решив систему: , отсюда .Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:
.Ответ:
.Найти предел:
. .Ответ:Заданный предел равен
.Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:
.Решение:
1. Область определения данной функции:
.2. Т.к. точка
не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к. и , следовательно, уравнение – уравнение вертикальной асимптоты.3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид:
, где: т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклоннойасимптоты имеет вид:
.Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем
точки пересечения наклонной асимптоты
с осямикоординат:
С осью OX: точка
,с осью OY: точка
Ответ:
и – уравнения асимптот заданной функции.Задание №11. Вопрос №6.
Исходя из определения производной, докажите:
.Решение:
Т.к. по определению производная функции
в точке вычисляется по формуле , тогда приращение в точке : .Следовательно
.Ответ:
.Задание №15. Вопрос №1.
Найдите пределы, используя правило Лопиталя:
.Решение:
.Ответ:Заданный предел равен
.Дополнительно Часть II.
Написать в точке
уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: .Решение:
Уравнение касательной плоскости к графику функции
в точке имеет вид: . Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: . Подставив в полученное уравнение координаты точки вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим: .Ответ:Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке
имеет вид .Найти наибольшее и наименьшее значение функции
в области: .Решение:
Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области.
Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:
, точка не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями и . Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:1.
, тогда , , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид:Эта система имеет четыре решения:
, , | Точка – точка условного максимума, при этом функция . |
, , | Точка – точка условного максимума, при этом функция . |
, , | Точка – точка условного минимума, при этом функция . |
, , | Точка – точка условного минимума, при этом функция . |
2.
, тогда , ,