Аппроксимация непрерывных функций многочленами (стр. 2 из 7)
Следовательно, в силу строгой нормированности пространства:
.В этом соотношении
должно =1, т.к. в противном случае элемент х был бы линейной комбинацией элементов g1,g2...gn и, значит, было бы 
. Но если 
, то 
и, значит, 
, т.к. элементы g1,g2...gnлинейно независимы. Таким образом, рассматриваемые выражения- тождественны.Примером строго нормированного пространства является пространство Н, а также Lpпри р>1, но пространства С и L не являются строго нормированными.
Действительно, возьмём интервал [-1,1] и две линейно независимые функции x(t) и y(t)
, модули которых принимают свои максимальные значения в одной и той же точке интервала, причём arg x( )=arg y( ).Тогда очевидно,
. Чтобы доказать, что 
не есть строго нормированное пространство, достаточно взять x(t)=1, при 
и x(t)=0, при t<0 ,а y(t)=1-x(t).Геометрическая интерпретация.
Проблема, существование решения которой мы ранее доказали, допускает полезную геометрическую интерпретацию. Действительно, совокупность точек вида
, где зафиксированные элементы g1,g2...gn 
линейно независимы, а 
пробегают всевозможные комплексные числа, представляют некоторое линейное многообразие 
в том смысле, что из 
следует, что 
при произвольных комплексных 
. Это линейное многообразие, очевидно, является пространством, так как оно содержит точку 0. При n=1 мы получаем “прямую”; при n=2- “плоскость”, а вообще- “n- мерную плоскость”.Наша проблема, таким образом, состояла в нахождении точки конечномерного подпространства G пространства E, которая от заданной точки х
находится на кратчайшем расстоянии (в метрике пространства Е). Мы доказали, что такая точка в G существует.Если само пространство Е не является конечномерным, т.е. если в нём имеется сколько угодно линейно независимых между собой векторов, то Е содержит бесконечномерные подпространства. Пусть G- такое подпространство.
Возникает вопрос, существует ли в G точка, наименее удалённая от заданной точки
. Заметим, если пространство Е строго нормировано, то в G во всяком случае не может существовать более одной точки, наименее удалённой от данной точки .1.2. Теоремы аппроксимации в пространстве Н.
Пусть G- некоторое подпространство пространства Гильберта Н, и пусть точка x
- точка, не принадлежит G. Если в G существует точка y, наименее удалённая от x, то вектор x-y ортогонален к каждому вектору g из G, т.е. (x-y,g)=0, 
. Чтобы доказать это утверждение, предположим, что в G существует вектор f, для которого 
, и рассмотрим вектор 
.Имеем
и, значит: 
, а это противоречит предположению,что y- есть наименее удалённая точка от x подпространства G. Вектор y из G, обладающий тем свойством, что разность x-y ортогональна к G, естественно назвать проекцией x на G.В этом случае, когда подпространство конечномерно и образовано линейно независимыми векторами g1,g2...gn, мы можем, пользуясь доказанными предложениями, фактически найти вектор y=
, наименее уклоняющийся от вектора x. Действительно, вектор y- есть проекция x на G и, значит, он должен удовлетворять уравнениям: 
(k=1,2...n) (1), которые в подробной записи имеют вид: 
(2)и представляют систему линейных уравнений, для нахождения коэффициентов
.Детерминант этой системы, т.е.
,носит название детерминанта Грама системы векторов g1,g2...gn.
Так как пространствоН строго нормировано, а векторы giлинейно независимы, то при любом векторе x система (2) имеет одно и только одно решение. Отсюда вытекает, что детерминант Грама линейно независимых векторов всегда отличен от нуля.
Найдём ещё выражение для квадрата погрешности, с которой вектор y аппроксимирует вектор x, т.е. для величины
.В силу (1), имеем равенство
или 
.Присоединяя это уравнение к системе (2) и исключая
, найдём, что 
, откуда 
.Итак, мы нашли:
(3)Из этого соотношения, и из того, что G(g1)=(g1,g1)>0
вытекает, что детерминант Грама всегда больше либо равен нулю, причём он обращается в нуль тогда и только тогда, если между векторами есть линейная зависимость (в частности, если один из векторов равен нулю). 1.3. Первая теорема Вейерштрасса.
Мы рассмотрели теорему аппроксимации в произвольном линейном нормированным пространстве Е. Теперь рассмотрим пример линейного нормированного пространства- пространство С.
Пространство С: совокупность всех непрерывных функций x=x(P) от точки Р в ограниченном замкнутом множестве
обычного пространства любого числа измерений- это есть линейное нормированное пространство.Из теоремы в применении к пространству вытекает следующий факт: пусть f(x)- непрерывная функция в конечном интервале [a,b]; тогда при любом n существует полином
, который среди полиномов n-й степени наименее уклоняется от f(x), в том смысле, что 
, где Qn(x)- произвольный полином n-й степени. Ясно, что 
.Теперь докажем, что
при 
. Это утверждение и составляет содержание теоремы Вейерштрасса (1885), которая гласит:если f(x) непрерывна в конечном замкнутом интервале [a,b], то всякому
можно сопоставить полином Pn(x) степени n=n( 
), для которого во всём интервале [a,b] имеет место неравенство 
.Не нарушая общности, примем, что а=0, b=1. Приведём доказательство С.П.Бернштейна.
Для этого построим полином
, 
и докажем, что равномерно во всём интервале [0,1] 
. Напишем тождества: