Смекни!
smekni.com

Аппроксимация непрерывных функций многочленами (стр. 3 из 7)

(1);
;

, из которых последите два получаются дифференцированием по р соотношения:

. Из написанных тождеств вытекает, что
(2).

Умножая (1) на f(x) и отнимая Bn(x), получим, что

, где суммирование в
распространено на те значения к, для которых
, а суммирование в
- на остальные значения к.

Так как f(x) непрерывна в замкнутом интервале [0,1], и, значит, ограничена:

во всём этом интервале, то

А это выражение на основании (2):

, с другой стороны,
, где
, и, значит,
при
.

Окончательно:

, что и доказывает теорему Вейерштрасса.

Заметим, что если Pn(x) равномерно стремится к f(x) при

, то f(x) разлагается в равномерно сходящийся ряд.

Поэтому т. Вейерштрасса состоит так же в том, что всякая непрерывная в конечном интервале [a,b] функция f(x) может быть разложена в равномерно сходящийся при

ряд, члены которого- полиномы.

1.4. Вторая теорема Вейерштрасса.

Она относится к периодическим непрерывным функциям:

Если F(t)- непрерывная функция с периодом 2

, то каково бы ни было число
, существует тригонометрическая сумма
, n=n(
), которая для всех t удовлетворяет неравенству:

.

II. Круг идей П.Л. Чебышева.

Пусть даны замкнутый (конечный или бесконечный) интервал [a,b] числовой оси и две вещественные непрерывные в [a,b] функции f(x) и S(x). Составим выражение:

(*), где m и n заданы и поставим задачу найти вещественные параметры p0,p1...pm; q0,q1...qnтак, чтобы уклонение
Q(x) от f(x) было наименьшим.

В частном случае, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a,b] конечен, поставленная задача переходит в задачу о наилучшем приближении в пространстве С заданной функции с помощью многочлена степени n.

Будем полагать, что m=n-k, кроме того, если интервалом [a,b] является вся числовая ось, мы будем предполагать, что

и будем рассматривать только те функции, для которых
, m условимся считать чётным.

2.1 Обобщённая теорема Валле-Пуссена.

Если многочлены

;
, где
и
,
, не имеют общего делителя , а выражение
в интервале [a,b] остаётся конечным и если разность f(x)-R(x) принимает в последовательных точках x1<x2<...<xnинтервала [a,b], отличные от значения
с чередующимися знаками, N=m+n-d+2,
, то для каждой функции
имеет место неравенство:
, где
. Это же неравенство имеет место, если R(x)=0 и N=n+2.

Значение этой теоремы состоит в том, что она даёт возможность получить для погрешности наилучшего приближения некоторую оценку снизу.

Теорема существования.

Среди функций Q(x) существует по крайней мере одна, для которой HQимеет наименьшее значение.

Т.о., пусть Н

- есть нижняя грань множества всех HQ. По определению, следовательно, существует бесконечная последовательность функций Qi(x), для которой
.

2.2. Теорема Чебышева.

Функция Р(х), которая из всех функций вида Q(x) наименее уклоняется в [a,b] от функции f(x), единственна.

Эта функция вполне характеризуется таким своим свойством, если она приведена к виду

,
и
,
и дробь
несократима, то число N последовательных точек интервала [a,b], в котором разность f(x)-P(x) принимает с чередующимися знаками значение Нр, не менее, чем m+n-d+2, где d=
, а если P(x)=0, то
.

Теорема Чебышева показывает, что существует единственная функция P(x), дающая наилучшее приближение к данной функции f(x) (т.е. наименее отклоняется от f(x)) в данном нормированном пространстве.

Случай аппроксимации многочленами.

Особенно важным является частный случай, когда S(x)=1, m=0 и интервал [a,b] конечен. В этом случае мы получаем теорему:

многочлен n-й степени P(x), который наименее уклоняется (в метрике пространства С) от заданной непрерывной функции f(x), единственен и вполне характеризуется тем, что число последовательных точек интервала [a,b], в которых разность f(x)-P(x) принимает с чередующимися знаками значение

не меньше, чем n+2.

2.3 Переход к периодическим функциям.

Допустим, что

- есть непрерывная периодическая функция с периодом
, которую нужно наилучшим образом аппроксимировать на всей оси при помощи тригонометрической суммы:
порядка n. Сделаем замену переменной
так, что интервалу
будет соответствовать интервал
.

Т.к.

и так как
есть многочлены степени к от
, то после преобразования мы получим
. Следовательно, наша задача сводится к наилучшему (в интервале
) приближению функции F(x)=f(
) при помощи выражения вида:
. Выражение W2n(x) можно рассматривать как частный случай выражения Q(x), если положить m=0,
. Легко видеть, что общие теоремы применимы, и теорема Чебышева гласит: