Аппроксимация непрерывных функций многочленами (стр. 6 из 7)

Аналогичными рассуждениями можно установить, что

сходится при . Степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, т.е. обращаться с ним как с многочленом.

В формуле (1) заменим x на t и проинтегрируем получившийся ряд на промежутке [0,x];

,

Так же заменим x на t в формуле (2). Получим:

Разложение (3) в степенной ряд сходится при

. Оно может быть использовано для вычисления логарифмов натуральных чисел. Положим в формуле (3) , где n- натуральное число, 0<x<1, при любом n ряд в правой части этой формулы будет сходится.

Пользуясь этой формулой, можно последовательно вычислить

Обратимся снова к формуле (2). Полагая

, записываем полученный ряд и интегрируем его по отрезку [0,x], 0<x<1.

Пусть х=1 в этой формуле

Можно приближённо вычислить .

Биномиальный ряд

Разложим в ряд Маклорена функцию

;

В соответствии с формулой Маклорена:

Ряд в правой части называют биномиальным. Можно доказать, что биномиальный ряд сходится при

, т.е. областью его сходимости служит интервал (-1,1). Отметим, что ряд (2) является частным случаем этого ряда при .

В случае

формула принимает вид:

все члены, начиная с n+1-го обращаются в 0. В правой части формулы разложения

их остаётся конечное число, ряд обрывается. Эта формула при а=1 является частным случаем бинома Ньютона.

Применение рядов в приближённых вычислениях.

Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые 2 члена с номерами k и k+1 (k=1,2,3..) имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда выражается следующей теоремой:

Теорема1 Знакочередующийся ряд

сходится, если модуль его членов убывают с возрастанием номера k и общий член стремится к 0, т.е., если выполняются 2 условия:

a_k+1<a_k, k- нат. число;

Теорема2 Сумма остатка знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, имеет знак первого оставшегося члена и по модулю не превосходит его модуля.

С помощью рядов можем вычислять приближённо значения логарифмов, корней различной степени, определённых интегралов, тригонометрических функций.

Пусть неизвестное число А каким-то образом представлено сходящимся рядом:

,где а₁...а_n- некоторые числа.

Погрешность при замене А на А_nвыражается суммой остатка а_n=a_n+1+a_n+2+... Т.к. ряд сходится, то

и поэтому при достаточно большом n погрешность станет сколь угодно малой. Другими словами, искомое А посредством частичной суммы А_nуказанного ряда можно выразить с любой заданной точностью.

Если ряд знакочередующийся, удовлетворяет условиям признака Лейбница, то сумма остатка имеет знак своего первого члена и по модулю не превышает его.

В случае ряда с положительными членами

необходимо найти новый ряд с большими членами , который бы легко суммировался, и в качестве оценки для суммы остатка взять сумму остатка этого ряда.

3.3. Ряды Фурье.

Мы показали приближение некоторых функций алгебраическими многочленами, теперь покажем, как приближаются функции тригонометрическими многочленами. Инструментом для этого будут ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называют функциональный ряд вида:

называют коэффициентами ряда.

Пусть данный тригонометрический ряд сходится и его сумма равна f(x). Тогда

.

Тригонометрической системой функций называют бесконечное множество функций

Эта система обладает свойствами:

1.Определённый интеграл по отрезку

от квадрата любой функции отличен от 0, причём

2. Определённый интеграл по отрезку

от произведения любых двух различных функций равен нулю, т.е.

, ,

, ,

Замечание 1: Система функций

называется ортогональной на отрезке [a,b], если

1.

Видим, что тригонометрическая система функций является ортогональной на отрезке

.

Будем считать, что выполнено условие, при котором этот тригонометрический ряд можно интегрировать почленно, тогда его коэффициенты определяются формулами:

Тригонометрический ряд, определяемый такими коэффициентами, называется рядом Фурье, а числа a_n, b_n- коэффициентами Фурье функции f(x).

Замечание 2: Формулы a₀и a_nможно объединить в одну:

При этом появляется удобство обозначения начального члена тригонометрического ряда через a₀/2, а не через a₀.

Замечание 3: Два аналитических выражения могут совпадать в некотором промежутке, но не совпадать при этом на всей числовой прямой.

Пример:

Y