Смекни!
smekni.com

Теорема Штольца (стр. 2 из 2)

Теорема.

Пусть функция

, причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk), т.е. функция возрастающая.

Тогда

,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

.

Тогда, по определению предела

или

.

Значит, какой бы

ни взять, все дроби

,
, …,

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь

, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при

.

Напишем тождество(которое легко проверить):

,

Откуда

.

Второе слагаемое справа при

становится
; первое же слагаемое, ввиду того, что
, так же будет
, скажем, для
. Если при этом взять
, то для
, очевидно
, что и доказывает теорему.

Примеры:

Найти следующие пределы:

1.

очевидна неопределенность

=
=
=2

2.

неопределенность

=
=
=
=0

3.

неопределенность

=
=
=

Литература:

1. “Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.

2. Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.