В рамках термостатистики Тсаллиса, даже для одной и той же физической системы мы можем получить совершенно разные термодинамические картины!
И теперь несколько слов о том, как в системе может возникнуть большой масштаб времени. Возможностей здесь, по-видимому, может быть несколько, но одна из них такова. Взаимодействие между частицами может обладать такими свойствами, что после приготовления системы частицы начинают не хаотично двигаться по всему доступному фазовому объему, а "крутиться" около некоторых метастабильных траекторий (нечто типа аттрактора). Это, кстати, будет одним из примеров системы с памятью. Для того, чтобы частицы "вылетели" из этой западни и начали блуждать по всему фазовому пространству (то есть, для того, чтобы система термализовалась), требуется некоторое значительное время, которое вполне можно представить зависящим от числа частиц. И в то время, пока частицы блуждают по своему ограниченному подпространству, вся система целиком и находится в метастабильном состоянии.
7. Что же есть в реальном мире?
Как же нам искать системы, описываемые той или иной неэкстенсивной термодинамикой? Прежде всего, сразу же можно попытаться применить термостатистику Тсаллиса к тем системам, в которых мы уже подозревали неэкстенсивность (наш пример — облако самогравитирующего газа). Например, есть проблема с распределением по скоростям спиральных галактик в скоплениях, а именно, экспериментальные данные указывают на то, что это распределение резко обрывается на значении порядка 500 км/сек. Подход, основанный на термостатистике Тсаллиса, дал намного лучшее описание галактик распределения по скоростям, нежели все предыдущие попытки [4].
Другой пример систем, в которых можно заранее подозревать неэкстенсивность, является плазма. В работе [5] были исследованы продольные (электростатические) волны в бесстолкновительной плазме в рамках термостатистики Тсаллиса. Идея ее применения к плазменным волнам базируется на двух основных аргументах. Во-первых, кулоновское взаимодействие — это все-таки дальнодействующие силы, и потому могут приводить к неэкстенсивности плазмы. Кроме того, существуют и экспериментальные указания на то, что распределение ионов по скоростям в плазме отлично от максвелловского.
Авторы этой работы развивают теорию электростатических плазменных волн в рамках термостатистики Тсаллиса и делают ряд предсказаний, отличных от стандартных, которые можно было бы непосредственно проверить на опыте. Это касается, в частности, коэффициента затухания Ландау, а именно, его зависимости от длины волны.
В работе [6] была предпринята попытка привлечь термостатистику Тсаллиса к описанию развитой турбулентности. Давайте рассмотрим две точки, разделенные неким расстоянием r, и будем измерять относительную скорость u жидкости в этих точках. Поскольку мы имеем дело с турбулентностью, то делая измерения в разных местах жидкости, мы будем получать различные значения u. Таким образом, у нас получится некое распределение по скорости u. Экспериментальный факт: это распределение имеет не максвелловский вид, а спадает при больших u по степенному закону.
Применение термостатистики Тсаллиса к этому распределению оказалось успешным. Авторы этой работы смогли даже дать интерпретацию параметру q и получили формулу, дающую значение q как функцию расстояния r. Предсказания хорошо согласуются с экспериментом, что позволяет надеяться, что мы, используя новую обобщенную статистику, в самом деле "ухватили" что-то важное в физике турбулентности.
Наконец, термостатистика Тсаллиса находит свое применение и при изучении эволюции так называемых сложных сетей. Сложная сеть — это система, состоящая из большого числа узлов, которые могут определенным образом взаимодействовать друг с другом. Сюда относятся многие социальные сообщества (например, фондовые биржи), компьютерные сети (Интернет) и т.д. Во всех этих случаях есть важное явление "дальнодействия" — каждый узел сети может взаимодействовать не только с несколькими ближайшими соседями, но и со многими удаленными узлами, число которых, к тому же, может меняться со временем. Применение термостатистики Тсаллиса и здесь выглядит вполне оправданым.
Не стремясь перечислить все возможные попытки применить новый подход к различным системам, я отсылаю заинтересованных читателей к обзору [3]. Здесь же я хочу сделать одно лишь предостережение. Не надо пытаться — как это зачастую делают приверженцы идеи Тсаллиса — применять этот подход ко всем не-экспоненциальным зависимостям, которые есть в природе. Иногда степенная зависимость имеет совсем иное и вполне понятное происхождение. В этих случаях попытки натянуть новую термодинамику на данные выглядят несколько беспочвенными и необдуманными. Тем не менее, поскольку идеи, стоящие за всем этим подходом, ясны и понятны, не исключено, что термостатистика Тсаллиса в некоторых системах — это единственно правильный подход.
8. Вопросы на будущее
Здесь я хотел бы сформулировать вопросы, на которые термостатистика Тсаллиса обязана ответить для того, чтобы считаться обоснованной теоретической конструкцией.
Явно продемонстрировать переход от статистики Больцмана к термостатистике Тсаллиса в пределе сильной связи. Доказать, что форма энтропии будет именно такая, какую предложил Тсаллис. Получить выражение для q (ведь до сих пор это был лишь подгоночный параметр!).
Является ли энтропия Тсаллиса особенной или же есть иные функциональные формы энтропии?
В каких именно системах и при каких именно условиях будет наблюдаться переход в термостатистике Тсаллиса? Другими словами, дать четкое определение термодинамически аномальным системам.
Что это за новые степени свободы, появляющиеся в подходе Тсаллиса? Какова их природа?
В целом, на мой взгляд, идея Тсаллиса, безусловно, плодотворна. Возможно, она станет одним из немногих методов, с помощью которых удастся справиться с задачами с сильной связью, и позволит решить нерешенные сейчас задачи. Если эту программу удастся реализовать, термостатистика Тсаллиса станет настоящим перлом в копилке теоретической физики.
Список литературы
[1] C.Tsallis, J.Stat.Phys. 52, 479 (1988).
[2] J.A.Lima, R.Silva, A.R.Plastino, Phys.Rev.Lett. 86, 2938 (2001).
[3] C.Tsallis, Brazilian J.Phys. 29, 1 (1999); доступна на сайте журнала http://sbf.if.usp.br/WWW_pages/Journals/BJP/Vol29.
[4] A.Lavagno et al., Astrophys. Lett. and Comm. 35, 449 (1998).
[5] J.A.S.Lima et al., Phys.Rev. E 61, 3260 (2000).
[6] Ch. Beck, Physics A 277, 115 (2000).