Твердые тела (стр. 3 из 4)

s =F/S

В СИ за единицу напряжения принимается 1 Па= 1 Н/м², как и для давления.

В случае сжатия стержня напряжение аналогично давлению в газах и жидкостях. Для исследования деформации растяжения стержень при помощи специальных устройств подвергают растяжению, а затем измеряют удлинение образца и возникающее в нём напряжение. По результатам опытов вычерчивают график зависимости напряжения s от относительного удлинения e, получивший название диаграммы растяжения.

Закон Гука. Опыт показывает: при малых деформациях напряжение s прямо пропорцианально относительному удлинению e(участок OA диаграммы). Эта зависимость, называемая законом Гука, записывается так:

s= E |e| (1)

Относительное удлинение e в формуле (1) взято по модулю, так как закон Гука справедлив как для деформации растяжения, так и для деформации сжатия, когда e < 0.

Коэффициент пропорциональности E, входящий в закон Гука, называется модулем упругости или модулем Юнга. Модуль Юнга определяют по формуле (1), измеряя напряжение s и относительное удлинение e при малых деформациях.

Для большинства широко распространённых материалов модуль Юнга определён экспериментально. Так, для хромоникелевой стали E=2,1×10¹¹Па, а для алюминия E=7×10¹⁰Па. Чем больше модуль Юнга, тем меньше деформируется стержень при прочих равных условиях (одинаковых F,S,l₀).Модуль Юнга характеризует сопротивляемость материала упругой деформации растяжения или сжатия.

Закон Гука, записанный в формуле (1), легко привести к виду, известному из курса физики IX класса.

Действительно, подставив в формулу (1) s = F/S и e = |Dl|/l₀, получим:

F/S=E × |Dl|/l₀

Отсюда

F = SE/l₀× |Dl|. (2)

Обозначим

SE/l₀=k, тогда

F=k|Dl |. (3)

Таким образом, жесткостьk стержня прямо пропорциональна произведению модуля Юнга на площадь поперечного сечения стержня и обратно пропорциональна его длине.

Пределы пропорциональности и упругости. Мы уже говорили, что закон Гука выполняется при небольших деформациях, а, следовательно, при напряжениях, не превосходящих некоторого предела. Максимальное напряжение s_п (см. Рис. 7), при котором ещё выполняется закон Гука, называют пределом пропорциональности.

Если увеличивать нагрузку, то деформация становится нелинейной, напряжение перестанет быть прямо пропорциональным относительному удлинению. Тем не менее, при небольших нелинейных деформациях после снятия нагрузки форма и размеры тела практически восстанавливаются. Максимальное напряжение, при котором ещё не возникают заметные остаточные деформации (относительная остаточная деформация не превышает 0,1%), называют пределом упругости s_уп. Предел упругости превышает предел пропорциональности лишь на сотые доли процента.

Рис. 7

d Ed_пч K C Dd_уп Bd_п AOQ P e

Предел прочности. Если внешняя нагрузка такова, что напряжение в материале превышает предел упругости, то после снятия нагрузки образец, хотя немного и укорачивается, но не принимает прежних размеров, а остаётся деформированным.

По мере увеличения нагрузки деформация нарастает всё быстрее и быстрее. При некотором значении напряжения, соответствующем на диаграмме точке C, удлинение нарастает практически без увеличения нагрузки. Это явление называют текучестью материала(участок CD).Кривая на диаграмме идёт пир этом почти горизонтально. Далее с увеличением деформации кривая напряжений начинает немного возрастать, и достигает максимума в точке E. Затем напряжение резко спадет, и образец нарушается (точка K). Таким образом, разрыв происходит после того, как напряжение достигает максимального значения s_пч, называемого пределом прочности (образец растягивается без увеличения внешней нагрузки вплоть до разрушения). Эта величина зависит от материала образца и качества его обработки.

Сооружения или конструкции надёжны, если возникающие в них при эксплуатации напряжения в несколько раз меньше предела прочности.

Исследования растяжения (сжатия) твёрдого тела позволяют установить, от чего зависит коэффициент жесткости в законе Гука. Диаграмма растяжения, полученная экспериментально, даёт достаточно полную информацию о механических свойствах материала и позволяет оценить его прочность.

Пластичность и Хрупкость.

Упругость. Тело из любого материала при малых деформациях ведёт себя, как упругое. Его размеры и форма восстанавливаются при снятии нагрузки. В то же время все тела в той или иной мере могут испытывать пластические деформации.

Механические свойства материалов разнообразны. Такие материалы, как резина или сталь обнаруживают упругие свойства при сравнительно больших напряжениях и деформациях. Для стали, например, закон Гука выполняется вплоть до e = 1%, а для резины - до десятков процентов. Поэтому такие материалы называют упругими.

Пластичность. У мокрой глины, пластилина или свинца область упругих деформаций мала. Материалы, у которых незначительные нагрузки вызывают пластические деформации, называют пластичными.

Деление материалов на упругие и пластичные в значительной мере условно. В зависимости от возникающих напряжений один и тот же материал будет вести себя или как упругий, или как пластичный. Так, при очень больших напряжениях сталь обнаруживает пластичные свойства. Это широко используют при штамповке стальных изделий с помощью пресса, создающего огромную нагрузку.

Холодная сталь или железо с трудом поддаются ковке молотом. Но после сильного нагрева им легко придать посредствам ковки любую форму. Свинец пластичный и при комнатной температуре, но приобретает ярко выраженные упругие свойства, если его охладить до температуры ниже -100 C⁰.

Хрупкость. Большое значение на практике имеет свойство твёрдых тел, называемое хрупкостью. Материал называют хрупким, если он разрушается при небольших деформациях. Изделия из стекла и фарфора хрупкие, так как они разбиваются на куски при падении на пол даже с небольшой высоты. Чугун, мрамор, янтарь также обладают повышенной хрупкостью, и, наоборот, сталь, медь, свинец не являются хрупкими.

У всех хрупких материалов напряжение очень быстро растёт с увеличением деформации, они разрушаются при весьма малых деформациях. Так, чугун разрушается при относительном удлинении e» 0,45%. У стали же при e» 0,45% деформация остаётся упругой и разрушение происходит при e» 15%.

Пластичные свойства у хрупких материалов практически не проявляются.

Даны более или менее точные определения упругости, пластичности и хрупкости материалов. Мы теперь лучше представляем, что обозначают эти слова, нередко встречающиеся в обиходной жизни.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Плуг сцеплен с трактором стальным тросом. Допустимое напряжение материала троса s = 20 ГПа. Какой должна быть площадь поперечного сечения троса, если сопротивление почвы движению плуга равно1,6×10⁵H?

Дано: Си: Решение:

F = 1,6×10⁵Н S = F/s

s= 20 ГПа20 000 000 000 S = 1,6/200000=8×10^-6

S = 8×10^-6

S - ?

2. Каким должен быть модуль силы, приложенной к стержню вдоль его оси, чтобы в стержне возникло напряжение 1,5×10⁸ Па? Диаметр стержня равен 0,4см.

Дано:Решение:

d = 0,0004м. S = p×R²=p×(d/2)²=p×(0,0002)²=p×(0,00000004)= p×4×10^-8;

s = 1,5×10⁸Па F = s×S;

F - ? F = 1,5×10⁸×p×4×10^-8= 6p

3. Какое напряжение возникает у основания кирпичной стены высотой 20м ? Плотность кирпича равна 1800 кг/м2. Одинаковой ли должна быть прочность кирпичей у основания стены и в верхней её части?

Дано: Решение:

g»10s = F/S;

h₀=0м F = mg = hspg;

h₁=20мs = hSpg/S = hpg;

r=1800кг/см³s₁ = h₁pg » 20×1800×10 » 360000 » 360 кПа;

s₂ = h₀pg » 0×1800×10 = 0 Па.

s₁ - ?

Ответ: 1) напряжение у основания стены » 360 кПа.

2) неодинаковое, т.к. в верхней части напряжение нулевое.

4. Какую наименьшую длину должна иметь свободно подвешенная за один конец стальная проволока, чтобы она разорвалась под действием силы тяжести? Предел прочности стали равен 3,2×10⁸ Па, плотность - 7800кг/м³.

Дано:Решение:

s = 3,2×10⁸ Па F = mg = rlsg;

r = 7800 кг/м³s = F/S;

g » 10 F = s×s

rlsg =s×s | :s

l - ? rlg = s;

l = s/rg = 3,2×10⁸/7800×10 = 3,2×10⁵/78 см.

5. Под действием силы 100Н проволока длиной 5м и площадью поперечного сечения 2,5 мм² удлинилась на 1мм. Определите напряжение, испытываемое проволокой, и модуль Юнга.

Дано:Си: Решение: