Ряды и интеграл Фурье (стр. 3 из 3)

Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине

, где -точки разрыва.

Рис. 1

Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.

1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале

.

2) F(x) - кусочно-монотонна.

Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия - то рассматриваемая функция произвольна.

Представление функции рядом Фурье.

Из разложения видим, что при n нечетном

принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.

Поэтому формулу для

можно записать в виде:

( так как

).

Отдельно рассмотрим случай когда n=1:

.

Подставим найденные коэффициенты в

получим:

и вообще

.

Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:

1-ая гармоника

,

2-ая гармоника

,

3-ая гармоника

,

4-ая гармоника

,

5-ая гармоника

,

и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.

Запишем комплексную форму полученного ряда

Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)

,

но при

не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+1 :

(т.к. см. разложение выше)

и случай когда n=-1:

(т.к. )

И вообще комплексная форма:

или

или