Областью определения функции
служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.Так, например, при х=π/6 имеем:
но при х=5π/6
В силу периодичности синуса функция arcsin xтакже является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π.
Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.
Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как
, то имеем y=π-х;в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:
y=х-2π
Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то
y=-π-х
Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то
y=х+2π
Вообще, если
, тоy=х-2πk
и если
, тоy=(π-х)+2πk
График функции
представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.Рассмотрим функцию
Согласно определению арккосинуса, имеем:
cos y = cos x, где
Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и
, поэтому:Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x
Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π
Если х принадлежит сегменту [3π;4π], то y = 4π – x
Вообще, если
, то y = x - 2πkЕсли же
, то y = -x + πkГрафиком функции
является ломаная линияФормулы сложения
Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.
Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.
Примеры.
Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму
Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где
;В данном случае
(т.к. , а следовательно, ), а также , поэтому .Вычислив синус дуги γ, получим:
Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то
Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:
Откуда
Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму
Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к.
, а . ВычисляемВ рассматриваемом примере
, так как дуги γ и заключены в различных интервалах, , аВ данном случае
Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.
Решение: имеем
Обе дуги γ и
расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.
Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.
Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть):
, иСумма α + β заключена в верхней полуокружности
, следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса: ;Разность α – β заключена в правой полуокружности:
Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:
;Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.
Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.
1. Преобразуем в арккосинус
, где иИмеем:
Откуда
2. Аналогично
, где 0 < x < 1, 0 < y < 1 , где 0 < x < 1, 0 < y < 1