Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции (стр. 5 из 6)

Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.

1. Выразить сумму

через арксинус

По определению арксинуса

и ,

откуда

Для дуги γ возможны следующие три случая:

Случай 1:

Если числа x и yразных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.

В самом деле, при

и , имеем:

, и ,

откуда

При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:

а)

б)

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

в случае а) и в случае б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия

и (соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив

, получим:

При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е.

или

Откуда

и, следовательно,

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

;

но тогда для положительных аргументов –x и –yимеет место случай 1, а потому

или

Случай 2.

В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия

получим

Случай 3.

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:

откуда

Дуги γ и

имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) , следовательно в случае 1 ;

в случае 2

и в случае 3 .

Итак, имеем окончательно:

, или

; x > 0, y > 0, и (1)

; x < 0, y < 0, и

Пример:

;

2. Заменив в (1) x на –x получим:

, или

; x > 0, y > 0, и (2)

; x < 0, y < 0, и

3. Выразить сумму

через арккосинус

и

имеем

Возможны следующие два случая.

Случай 1:

если , то

Приняв во внимание, что обе дуги

и расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим

и следовательно,

, откуда

Случай 2:

. Если , то

,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим

. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если , а случай 2, если

.

Из равенства

следует, что дуги

и имеют одинаковый косинус.

В случае 1

, в случае 2 , следовательно,

,

, (3)

4. Аналогично

,