Математическое моделирование (стр. 1 из 2)

1. Постановка задачи и анализ исходных данных

Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли путем рационального распределения затрачиваемых ресурсов.

Данный курсовой проект ставит перед собой цель выяснить насколько эффективна деятельность фирмы в долгосрочном периоде при выборе вектора х=(х₁,х₂) затрат из пространства затрат.

Поэтому задача максимизации прибыли в долговременном промежутке имеет следующий вид;

PR=p(x₁,x₂)_*f(x₁,x₂)-c(x₁,x₂) max (х₁,х₂ > 0),где

p(х₁,х₂) - функция спроса;

f(х₁,х₂) - производственная функция выпуска;

с(х₁,х₂) - функция затрат.

Будут использоваться данные:

КАПИТАЛ	ТРУД	ВЫПУСК	ЦЕНА	ЗАТРАТЫ
1,05	1,03	1,50	25,44	5,10
2,00	2,90	4,20	15,11	10,20
3,00	6,00	7,43	10,60	19,40
4,00	9,00	9,60	8,57	27,00
5,00	12,00	12,15	7,34	36,00
6,00	15,30	15,75	6,45	42,60
7,00	18,00	18,45	5,87	50,00
8,00	21,00	21,45	5,39	58,00
9,00	24,00	24,30	5,00	66,00
10,00	27,00	26,85	4,67	74,00
11,00	30,00	30,15	4,40	82,00
12,00	33,00	33,00	4,17	90,00
13,00	36,00	36,75	3,97	99,00
14,00	39,00	41,28	3,79	107,00
15,00	42,00	42,30	3,63	120,00

Зависимые переменные : выпуск, цена, затраты.

Независимые переменные: капитал (х₁) и труд (х₂), которые удовлетворяют выше приведенным условиям.

Исходя из заданных данных необходимо определить вид и параметры функций спроса, затрат и производственной функции выпуска.

Определение вида и параметров функции спроса, достоверности параметров, качества регрессии.
Функция спроса - функция цены выпускаемой продукции в зависимости от объемов затрачиваемых ресурсов.
КАПИТАЛ									ТРУД	ЦЕНА	LN x1			LN x2	LN y
1,05									1,03	25,44	0,05			0,03	3,24
2,00									2,90	15,11	0,69			1,06	2,72
3,00									6,00	10,60	1,10			1,79	2,36
4,00									9,00	8,57	1,39			2,20	2,15
5,00									12,00	7,34	1,61			2,48	1,99
6,00									15,30	6,45	1,79			2,73	1,86
7,00									18,00	5,87	1,95			2,89	1,77
8,00									21,00	5,39	2,08			3,04	1,68
9,00									24,00	5,00	2,20			3,18	1,61
10,00									27,00	4,67	2,30			3,30	1,54
11,00									30,00	4,40	2,40			3,40	1,48
12,00									33,00	4,17	2,48			3,50	1,43
13,00									36,00	3,97	2,56			3,58	1,38
14,00									39,00	3,79	2,64			3,66	1,33
15,00									42,00	3,63	2,71			3,74	1,29
12,62									-38,59	50,48	-0,36			-0,23	3,26	26,00
3,19									9,51	8,90	0,00			0,00	0,00	1,00
0,83									2,60	#Н/Д	1,00			0,00	#Н/Д
29,14									12,00	#Н/Д	8736032,75			12,00	#Н/Д
393,61									81,06	#Н/Д	4,35			0,00	#Н/Д
значение распределения Стьюдента										значение распределения Стьюдента
3,95									-4,06	5,67	-280,59			-132,26	7866,80	25,99
Критическое значение Стьюдента										критич. Знач. Стьюдента=стьюдраспобр
2,18									2,18
Достоверен									достоверен	достоверен	достоверен			достоверен	достоверен
Критическое распределение Фишера										критическое распределение Фишера
0,00002									1,04959E-37
29,14>0,00002									8736032,75>1,04959Е-37
R2-достоверен									R2-достоверен
Выбираем степенную ф-ю т.к. у степенной ф-ции три достоверных параметра. Коэф. Детерминации равен 1 (1>0,83), Fстатистика больше, чем у линейной (8736032,75>29,14).
p(x1,x2)=P=b0*x1-b1*x2-b2										Параметры:			b0	b1	b2
26,00	-0,23	-0,36

Определение вида и параметров функции затрат, достоверности параметров, качества регрессии.
Функция затрат - функция от двух переменных - факторов производства - капитала и труда.
КАПИТАЛ				ТРУД	ЗАТРАТЫ
1,05				1,03	5,10
2,00				2,90	10,20
3,00				6,00	19,40
4,00				9,00	27,00
5,00				12,00	36,00
6,00				15,30	42,60
7,00				18,00	50,00
8,00				21,00	58,00
9,00				24,00	66,00
10,00				27,00	74,00
11,00				30,00	82,00
12,00				33,00	90,00
13,00				36,00	99,00
14,00				39,00	107,00
15,00				42,00	120,00
1,96				2,21	0,00
0,30				0,82	#Н/Д
1,00				1,54	#Н/Д
3818,56				13,00	#Н/Д
18116,82				30,84	#Н/Д
значение распределения Стьюдента
6,54				2,70	#Н/Д
критическое значение Стьюдента
2,16
достоверен				достоверен
критическое распределение Фишера
9,92626E-19
3818,56>9,92626Е-19
R2-достоверен
Функция затрат имеет вид линейной функции.							c(x1,x2)=C=c1*x1+c2*x2
Параметры:				c1	c2
2,21	1,96

Оптимизация
Общая постановка задачи:
Определив вид и параметры функций спроса, производственной функции и функции затрат ,мы можем преобразовать уравнение прибыли соответственно с нашим решением.
a0									1,54								b0		26,00	КАПИТАЛ	ТРУД	f(x1,x2)=F
a1									0,43								b1		-0,23	c1			2,21	1,05	1,03	1,60
a2									0,57								b2		-0,36	c2			1,96	2,00	2,90	3,81
3,00	6,00	6,86
PR=p(x1,x2)*f(x1,x2)-c(x1,x2)																	прибыль (1)	4,00	9,00	9,78
Найденные уравнения регрессии:																			5,00	12,00	12,68
p(x1,x2)=P=b0*x1-b1*x2-b2																	ф-я спроса (5)	6,00	15,30	15,75
f(x1,x2)=F=a0*x1a1*x2a2																	произв. ф-я (6)	7,00	18,00	18,47
c(x1,x2)=C=c1*x1+c2*x2																	ф-я затрат (7)	8,00	21,00	21,36
из этого следует, что																	9,00	24,00	24,24
PR=a0*b0*x1(a1+b1)*x2(a2+b2)-c1x1-c2x2																				10,00	27,00	27,13
далее решим систему уравнений																			11,00	30,00	30,01
qPR/qx1=0									(2)								12,00	33,00	32,89
qPR/qx2=0									13,00	36,00	35,78
14,00	39,00	38,66
Решение :									15,00	42,00	41,54
a0*b0*(а1+в1)*x1(a1+b1-1)*x2(a2+b2)-c1=0
a0*b0*x1(a1+b1)*(а2+в2)*x2(a2+b2-1)-c2=0
При упрощении выражения получается уравнение вида:
x2/x1=(c1*(a2+b2))/(c2(a1+b1))
Обозначим правую часть уравнения через коэффициент К:
x2/x1=K								К=	1,18
Cледовательно:
x2/x1=1,18								х1=х2/1,18 , х2=х1*1,18
Выразив х1 через х2 и решив систему уравнений получаем оптимальные значения х1опт и х2опт
x1o=		9,48
x2o=		11,20
Для проверки правильности нахождения экстремума необходимо произвести расчет по формулам ( 3) и ( 4 ):
q2PR(x1,x2)/qx12<0										для оптимальных значений х1,х2					( 3 )
Подставив свои значения получаю формулу:
а0*в0*(а1+в1)*(а1+в1-1)*х1(а1+в1-2)*х2(а2+в2)<0															-0,19	<0
(q2PR(x1,x2)/qx12)*(q2PR(x1,x2)/qx22)-(q2PR(x1,x2)/qx1х2)2>0																( 4 )
Представим формулу в виде:																	А*В-D2>0
А=а0*в0*(а1+в1)*(а1+в1-1)*х1(а1+в1-2)*х2(а2+в2)
В=а0*в0*(а2+в2)*(а2+в2-1)*х1(а1+в1)*х2(а2+в2-2)
D=а0*в0*(а1+в1)*(а2+в2)*х1(а1+в1-1)*х2(а2+в2-1)
Найдем значения А,В и D:
А =									-0,19
B =									-0,14
D =									0,04
Подставим эти значения в формулу:																				0,024			>0
Вывод:									Найденные значения х1опт и х2опт являются оптимальным решением системы уравнений .
При подстановке этих значений мы получим максимум прибыли(1) и максимум выпуска (5)																									61,37
6,50
График прибыли от двух переменных
PR=f(х1,х2)