называется рядом Тейлора функции x(
).Если x(
) аналитична при =0, то ее ряд Тейлора, в силу теоремы 10, является ее степенным разложением и, значит, сходится к ней в SR(0).Понятие абстрактной аналитической функции используется в широко применяемом на практике методе малого параметра.
§6. Метод малого параметра в простейшем случае
Рассмотрим следующее уравнение:
Аx –
Сx=y. (1)Здесь А, С Î L(X,Y) и y Î Y заданы,
- скалярный параметр, , а неизвестное x разыскивается в X. Если , т.е. , (2)то, согласно теореме 9, оператор А–
С непрерывно обратим, и тогда решение уравнения (1) существует, единственно и задается явной формулой . (3)Отсюда видно, что в круге (2) решение является аналитической функцией параметра
и, следовательно, может быть найдено в виде (4)На этой идее основывается метод малого параметра для уравнения (1). Подставим ряд (4) в уравнение (1) и, согласно теореме единственности разложения в степенной ряд, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
в правой и левой частях получившегося тождества: .Таким образом, мы приходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения x0, x1, …:
Аx0=y, Аx1=Сx0, …, Аxк=Сxк-1, …
Так как А непрерывно обратим, то отсюда последовательно находим
x0=А–1y, x1= А–1(СА–1)y, …, xк= А–1(СА–1)кy, …
Следовательно,
. (5)Мы получили решение (3), разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать степенной ряд и ограничиться приближенным решением
то можно оценить ошибку. Вычитая из ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим
.§7. Метод малого параметра в общем случае
Пусть дано уравнение
А(
)х = у( ). (1)Здесь А(
)Î L(X,Y) задана при каждом , , или, как говорят, А( ) – оператор-функция. Пусть А( ) аналитична при =0, а оператор А(0) непрерывно обратим, у( ) – заданная аналитическая функция при =0 со значениями в Y. Неизвестное x разыскивается в X.Аналитичность А(
) и у( ) в точке 0 означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусами сходимости, которые равны и соответственно: , . (2)Из аналитичности А(
) следует непрерывность А( ) при =0. следовательно, найдется число r > 0 такое, что в круге .Отсюда вытекает, что в круге
оператор-функция А( ) непрерывно обратима и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение ,при этом x(
) аналитична в точке =0 и радиус сходимости соответствующего степенного ряда равен min( , r). Для фактического построения x( ) удобно воспользоваться методом малого параметра. Будем разыскивать x( ) в виде . (3)Подставляя ряд (3) в уравнение (1) и учитывая разложения (2), приходим к следующей системе для неопределенных коэффициентов x0, x1, x2, …:
А0x0 = y0, А0x1+А1x0 = y1,
А0x2 + А1x1 + А2x0 = y2, (4)
. . . . . . . . . . .
, …Здесь А0 = А(0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся системы, находим
, , … (5)Возникающие здесь формулы довольно громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с любой степенью точности. Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях, когда обращение оператора А(0) – задача более простая, чем задача обращения оператора А(
).§8. Метод продолжения по параметру
8.1. Формулировка основной теоремы
В качестве еще одного приложения теорем об обратных операторах рассмотрим один из вариантов метода продолжения по параметру. Пусть
и А непрерывно обратим. Если , то, согласно теореме 9 §3, В также непрерывно обратим. Оказывается, при определенных условиях можно доказать, что В будет непрерывно обратим и в том случае, когда он очень далек от А. Идея заключается в следующем. Рассмотрим непрерывную на отрезке [0, 1] оператор - функцию такую, что А(0)=А, А(1)=В. Иначе говоря, в L(X, Y) рассматривается непрерывная кривая, соединяющая точки А и В. Будем предполагать, что для оператор – функции выполняется следующее условие:Существует постоянная
такая, что при всех и при любых справедливо неравенство . (1)Ниже будет доказана следующая теорема.
Теорема 14. Пусть А(λ) – непрерывная на [0, 1] оператор-функция (при каждом
), причем оператор А(0) непрерывно обратим. Если для А(λ)выполняется условие I, то А(I)непрерывно обратим, причем .Замечание к теореме 14. Если выполнено условие I при
и оператор непрерывно обратим, то . (2)Действительно, пусть
, а , т.е. . тогда условие I дает или , что означает справедливость неравенства (2).