Смекни!
smekni.com

Математическое выражение музыки (стр. 2 из 2)

1,3515 / 1,3333 ~ 1,0136. Можно сказать, что вся история развития музыкальных строев была историей борьбы с “волками”. Но об этом - чуть позже.

А сейчас обратим внимание на второй существенный недостаток пифагорова строя. Его заметил ещё во II веке древнегреческий ученый пифагореец Дидим. Дело в том, что пифагорова терция (81 / 64) при гармоническом, т.е. одновременном, исполнении обоих тонов, образующих терцию, звучит слишком напряжённо. Дидим предложил заменить пифагорову терцию (81 / 64) так называемой “чистой терцией” (5 /4 = 80 / 64), которая гармонически звучит значительно приятнее, хотя, как видим, лишь чуть - чуть отличается от пифагоровой терции. Разность пифагоровой и чистой терций (81 / 64 : 80 / 64 = 81 / 80 ~ 1,0125) называется дидимовой коммой и приблизительно равна1 / 10 целого тона.

Однако идеи Дидима, как это не раз случалось сучёными Древней Греции, опередили историю почти на полторы тысячи лет. Они не нашли подходящей почвы для развития, увяли, умерли и были воскрешены только в конце XV века...

...В XIV веке в Европе получает широкое распространение орган, ставший официальным инструментом католической церкви. С развитием органа развивается и многоголосие, которого не знала ни Древняя Греция, ни раннее средневековье. В течение столетий орган настраивался в пифагоровом строе. Никакого другого строя средневековье не знало. Но пифагоровы терции звучали на органе особенно жёстко и не давали покоя музыкантам.

В XVI веке выдающийся итальянский композитор и музыкальный теоретик Джозеффе Царлино (1517-1590) воскресил идеи Дидима. Так родился новый квинтово - терцовый строй, названный чистым строем. Новое всегда с трудом пробивает себе дорогу. Учение Царлино подверглось резким нападкам. Любопытно, что среди тех, кто не признавал учения Царлино и вёл с ним непримиримую борьбу, был Винченцо Галилей - выдающийся итальянский лютнист и отец великого революционера Галилео Галилея.

Чистая терция (5 /4), ставшая наравне с квинтой полноправной хозяйкой нового строя, звучит приятнее пифагоровой. Отметим одну поразительную закономерность: интервальный коэффициент чистой терции (её называют также большой терцией) есть среднее арифметическое интервальных коэффициентов основного тона (1) и квинты (3 /2):

А дополнение большой терции (5 /4) до квинты (3 /2) - малая терция (3 /2 : 5 /4 = 6 /5) - является средним гармоническим основного тона и квинты:

Оба этих интервала дают приятное звучание; таким образом, закон целочисленных отношений Пифагора расширяется, а внутри музыкальной гаммы появляются ещё две пропорции!

Предполагают, что ещё Архит умел выражать большую и малую терции как среднее арифметическое и гармоническое тона и квинты. Однако письменное свидетельство этому мы находим лишь в объёмном труде “Универсальная гармония” Марена Мерсенна (1588-1648) - монаха францисканского ордена, французского математика, теоретика музыки и философа, учившегося в иезуитском колледже Ла Флеш вместе с Рене Декартом. Труд Мерсенна - нескончаемое исследование об интервалах, полное всеобъемлющих умозрений. На десяти страницах огромного формата автор глубокомысленно обсуждает, например, “является ли унисон консонансом”, и попутно решает вопрос, “как бы человек мог поднять землю”, и т.д. Однако, несмотря на чрезвычайную напыщенность, которая, впрочем, была неотъемлемой чертой всех сочинений того времени, работа Мерсенна содержала интересные идеи и прозрения. В частности, это касалось консонантности и пропорций большой и малой терций. Сегодня большую и малую терции относят к группе несовершенных консонансов.

Но вернёмся к работам Царлино. Выдающейся заслугой его было не только выявление консонантности большой терции (5 /4), но и построение “совершенной гармонии” - объединение большой терции и квинты в гармоническое трезвучие. Это был первый в истории музыки аккорд, а само трезвучие

ныне именуется мажорным и является основой всего гармонического языка музыки. Кроме того, Царлино обнаружил, что если отложить те же большую терцию и квинту вниз от основного тона, то окраска звучания аккорда существенно изменится. Светлые тона мажора подёргиваются пасмурной дымкой иного звучания - минора. Приводя аккорд 2/3 : 4/5 : 1 к основному тону (умножая на 3/2, т.е. сдвигая вверх на квинту), получаем минорное трезвучие

Так был открыт закон, известный сегодня каждому юному музыканту: смена большой терции на малую переводит мажорное трезвучие в минорное.

Мажорное трезвучие было взято за основу чистого строя. Обрамляя мажорное трезвучие 1 : 5/4 : 3/2 такими же трезвучиями сверху и снизу и сводя умножением и делением на 2 построенные звуки в одну октаву, получаем чистый строй лидийской гаммы (натурального мажора)

до ре ми фа соль ля си до1

1 95 4 3 515 2

8 4 3 2 3 8

91016 910916

8 9 15 8 9 8 15

Отмечены тоны, изменившиеся по сравнению с пифагоровым строем, цифры внизу обозначают интервалы между ступенями.

Как видим, числовые характеристики чистого строя более простые. Однако сам строй стал менее равномерным: в нём, кроме полутона 15 /16, появились две разновидности целых тонов 9/8 и 10/9. Знакомые с музыкальной грамотой, конечно, увидели, что мажорные трезвучия (4:5:6) чистого строя построены на тонике (до), субдоминанте (фа), и доминанте (соль).

С помощью целых тонов 9/8 и 10/9 и полутона 16/15 легко построить чистый строй фригийской гаммы:

964 3 5 16

1 8 5 3 2 3 9 2

Теперь стало два деления целых тонов чистого строя. Чистый строй в истории музыки сыграл короткую, но заметную роль. Его звучание стало намного ярче и богаче по сравнению с пифагоровым строем. Чистый строй способствовал формированию мажорного и минорного ладов, развитию музыкальной гармонии. Но...

Вместе с достоинствами пришли и недостатки. Всё те же ненавистные музыкантам “волки” поселились теперь уже не на дополнительных, а на основных ступенях чистого строя! Легко проверить, что квинта между II и VI ступенями (ре - ля) является самым настоящим “волком”: 5/3:9/8 = 27/20 = 1,35:

до ре ми фа соль ля си до1 ре1

..1 9 54 3 515 2 9...

8 4 3 2 3 8 4

Следовательно, настроив орган в чистом строе ноты до, например, органист не мог уже перейти в тональности ре мажор и ре минор, т.е. в те тональности, где “волчья квинта” входит в тоническое трезвучие и встречается наиболее часто. Разумеется, приходилось исключать и те тональности, где эта квинта входила в доминанту и субдоминанту, которые также являются основными ступенями лада. Таким образом, органист оказывался что называется связанным по рукам: модуляции, т.е. переходы, в другие тональности были крайне ограничены и опасны, и это лишало музыку значительной части её выразительных средств.

“Волки” продолжали донимать органистов. На фоне “совершенной гармонии” чистого строя это было особенно невыносимо. Забавный случай рассказывают о французском композиторе и теоретике музыки, страстном приверженце чистого строя, Жане Рамо (1683-1764). Однажды Рамо, желая отказаться от предлагаемой ему должности церковного органиста, выпустил из органа столько “волков”, что привёл в ужас святых отцов и убедил их в своей “бесталанности”. Святые отцы поспешили удалиться вместе со своими лестными предложениями.

Однако проблема оставалась. Выгнать “волков” из органа, т.е. найти закон построения нового музыкального строя, а значит, и рецепт новой настройки органа, наряду с музыкантами безрезультатно пытались и математики: Кеплер, Декарт, Лейбниц, Эйлер. О теории гармонии Эйлера шутливо говорили, что она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для музыкантов.

Но то, что не смог сделать изощрённый ум математика, сделала обыкновенная смекалка простого органиста...