Механические колебания в дифференциальных уравнениях (стр. 2 из 3)

Так как

то

Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-тельно, амплитуда колебания

зависит от времени и является монотонно убывающей функцией, причем при .

Период затухающих колебаний определяется по формуле

Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным

или . Эта величина называется декрементом затухания и обычно обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD = - пТ/2 называется логарифмическим декрементом затухания.

Частота колебаний

в этом случае меньше, нежели в предыдущем ( ), но, как и там, не зависит от начального положения груза.

Если сопротивление среды велико и

, то, положив , получим корни (4) в виде Так как , то оба корня отрицательны. Общее решение уравнения в этом случае имеет вид

(6)

Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае

, когда общее решение имеет вид

(7)

Легко заметить, что в обоих последних случаях при

имеем .

Если заданы начальные условия

и , то в случае, когда , имеем , а . Решая эту систему относительно и , получим

,

и, следовательно

В случае же, когда

, получаем , и следовательно,

Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.

Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней периодической возмущающей силой.

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в ненагруженном состоянии равна

. На груз действует периодическая возмущающая сила где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.

Решение

Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение

Полагая, как и прежде,

и, кроме того, перепишем уравнение в виде

(8)

Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению (8), является (1). Поэтому

; остается найти х. Если предположить, что , то частное решение х, нужно искать в виде , где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак,

Производя вычисления, получаем

откуда М=0 и

Полученное таким образом частное решение

(9)

определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-щей силой

. Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную фазу) при k>p, либо отличаются на p, если k<p, т. е. если N<0.

Закон движения представляется общим решением

. (10)

Оно слагается из собственно вынужденных колебаний (9), которые определяются внешней возмущающей силой, и собственных колебаний (2), обусловленных исключительно внутренними причинами: жесткостью пружины и массой груза.

Если заданы начальные условия:

и , то можно определить произвольные постоянные А и u. Для этого продифференцируем функцию (10):

и подставим в выражения х и

значение аргумента t = 0; получим систему уравнений относительно A и a:

Преобразуем её так:

возведем в квадрат обе части каждого из этих уравнений и сложим. Тогда

Для нахождения a разделим обе части первого уравнения на соответствую-щие части второго; получим

откуда

при этом

,

Итак, искомым частным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является функция

или

Частное решение (9), характеризующее собственно вынужденные колебания, было получено в предположении, что

, т. е. что частота внешней силы не совпадает с частотой собственных колебаний. Если же , то дело будет обстоять совсем иначе. Действительно, уравнение (8) можно переписать теперь в виде

(11)

Частное решение следует искать в форме

,

где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. Итак,

откуда получаем

, , и следовательно, частное решение имеет вид