Эффекты конечной разрядности и их учет (стр. 2 из 3)

Отсюда, относительная погрешность представления исходного числа кодовым словом конечной разрядности равной 8 составляет d» 0,1 %

При усечении

А₍₁₀₎

0*2^-1 + 0*2^-3 + 1*2^-4 + 0*2^-5 + 0*2^-6 + 0*2^-7 + 1*2^-8 = 0,31640625

что соответствует d» 1,15 %

Существуют различные способы расчета разрядности коэффициентов по допускам на системные характеристики. Самый простой способ - метод проб.

Расчет по методу проб начинается с выбора разрядности коэффициентов ориентировочно, субъективно. Затем следует расчет системных характеристик с новыми - приближенными - значениями коэффициентов, оценка искажений характеристик и соответствующая коррекция разрядности коэффициентов в ту или иную сторону. Расчет повторяется столько раз, сколько потребуется для удовлетворительного решения задачи по выбору разрядности коэффициентов.

Чувствительность

Анализ искажений, вызванных квантованием коэффициентов, удобно выполнить по функции чувствительности S.

Чувствительность некоторой величины M к изменению параметра q (сокращенно - чувствительность M по q) определяется так:

(4.8)

Чувствительность отвечает на вопрос: на сколько процентов изменится величина М, если параметр q изменится на 1%. Параметром q цифровой цепи могут быть как коэффициенты цепи, так и зависящие от них вторичные параметры, например, координаты полюсов и нулей на плоскости Z. Содержание величины М может быть разным в зависимости от поставленной задачи; например, одна из системных характеристик или положение полюса, если параметром q является коэффициент цепи.

Рассмотрим более подробно чувствительность передаточной функции по одному из коэффициентов цепи a_i

(4.9)

Чувствительность комплекса передаточной функции удобно получать непосредственно по (4.9)

Чувствительность АЧХ и ФЧХ

Можно выразить через вещественную и мнимую части чувствительности комплекса передаточной функции. Действительно,

Следовательно

(4.10)

Пример. Определить чувствительность АЧХ по коэффициенту b, если

Решение

Здесь

Следовательно

где

Отсюда чувствительность АЧХ по коэффициенту b

Чувствительность частотных характеристик достаточно оценить на частоте полюса максимальной добротности w_к, которая определяется, согласно (4.6), значением угла полюса

Q_к = w_кТ

На частоте w_к чувствительность принимает максимальное значение:

Оценку максимума чувствительности по коэффициенту a_i можно применить, в частности, к расчету разрядности коэффициентов по допускам на отклонение АЧХ. Расчет начинается с определения среднеквадратичной чувствительности по всем коэффициентам a_i.

(4.11)

Необходимость среднеквадратичного критерия объясняется разным сочетанием знаков чувствительностей в зависимости от частоты, поэтому суммарная чувствительность может оказаться равной нулю даже на частоте w_к.

В режиме малых приращений коэффициентов реакция системы проявляется по линейному закону, поэтому можно воспользоваться пропорцией

1% -

d_S- d_Н

и определить среднеквадратичное значение погрешности коэффициентов d_S по допуску на отклонение АЧХ d_Н.

Сравнивая требуемое значение d_Sи реализованное значение среднеквадратичной погрешности коэффициентов d^'_S

d^'_S =

(4.12)

можно определить разрядность коэффициентов методом проб.

В качестве примера анализа цепи по функции чувствительности можно сделать ссылку на анализ чувствительности полосового ЦФ к изменению тактовой частоты. Оказалось, что смещение полосы пропускания увеличением тактовой частоты, при неизменной ширине полосы пропускания, потребует увеличения разрядности коэффициентов.

Масштабирование сигнала в цепи

Уровень шума квантования на выходе источника шума не зависит от уровня сигнала: уровень шума определяется величиной шага квантования. Поэтому соотношение сигнал/шум тем выше, чем выше уровень сигнала в цепи. Но высокие уровни сигнала могут привести к переполнению сумматоров цепи, т.е. к выходу числа за пределы разрядной сетки слева в регистре сумматора, на котором вырабатывается сумма. В системе чисел с фиксированной запятой таким пределом называется единица.

Переполнение сумматора равносильно ограничению сигнала сверху пороговым нелинейным элементом в аналоговой цепи.

Поэтому возникает необходимость в масштабировании сигнала с таким расчетом, чтобы получить высокие уровни сигнала в цепи с минимальным риском перегрузки сумматоров. Масштабирование осуществляется специальным умножителем, который устанавливается на входе цепи. На рис. 4.3. приведен пример цепи с масштабным умножителем.

Расчет множителя l выполняется по каждому сумматору отдельно. Из множества расчетных значений l необходимо выбрать наименьшее, т.е. l того сумматора, который наиболее подвержен опасности переполнения.

Расчетные значения l рекомендуется округлить в меньшую сторону до ближайшего числа кратного степени 2: операцию умножения на число кратное степени 2 можно выполнить простым сдвигом числа в числовом регистре, что практически не требует затрат времени и оборудования на умножение поступающих кодовых слов.

Рассмотрим методы расчета масштабного множителя.

Расчет по условию ограничения максимума сигнала

Сигнал на входе i-ого сумматора определяется по формуле свертки

где x(n) - сигнал на входе цепи

lh_i(n) - импульсная характеристика участка цепи от входа до выхода i-ого сумматора.

Максимум модуля сигнала y_i(n) имеет место при соблюдении условия:

x(n-k)={+1, если h_i(k)>0

-1, если h_i(k)<0}

поэтому

Если ограничить максимум модуля сигнала единицей, т.е.

,

то требование отсутствия переполнения сумматора выполняется при условии:

(4.13)

Расчет масштабного множителя по (4.13), т.е. по условию ограничения максимума сигнала, приводит к режиму работы цепи, при котором перегрузка сумматоров исключена, но уровни сигнала в цепи - низкие. Поэтому чаще применяется вариант расчета по условию ограничения энергии сигнала, который приводит к более высоким уровням сигнала.

Расчет по условию ограничения энергии сигнала

Энергия сигнала на выходе i-го сумматора определяется согласно (2.25) по формуле

Формула справедлива для случайных сигналов с равномерным энергетическим спектром, что примерно соответствует реальным сигналам.

Сигнал на входе цепи не превышает единицы по абсолютной величине, поэтому сигнал на выходе i-го сумматора не превысит, наиболее вероятно, модуля единицы, если потребовать выполнение условия:

1.

2. Корреляционные связи сигнала и системы - отсутствуют.

В результате исходная формула принимает вид

Отсюда

(4.14)

Масштабный умножитель с коэффициентом (4.14) обеспечивает относительно высокие уровни сигнала в цепи, но возникает опасность перегрузок сумматоров. Перегрузки маловероятны и кратковременны, поэтому для многих систем обработки сигналов вполне допустимы, тем более, что отрицательный эффект от перегрузок можно ослабить, если подставлять единицу на выход сумматора по признаку переполнения.

Расчет по условию ограничения максимума усиления цепи

Усиление участка цепи от входа цепи до выхода i-го сумматора в значительной мере определяет условия перегрузки i-го сумматора. Поэтому, ограничивая максимум усиления единицей

приходим к режиму работы цепи, при котором опасность перегрузки i-го сумматора становится минимальной, поскольку сигнал на входе цепи не превышает по модулю единицы. Отсюда расчетная формула для масштабного множителя